第一章 §5
A级 基础巩固
一、选择题
1．在(x－)10的二项展开式中，x4的系数为( C )
A．－120 B．120
C．－15 D．15
[解析] Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)r·Cx10－2r
令10－2r＝4，则r＝3.
∴x4的系数为(－)3C＝－15.
2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( A )
A．29 B．210
C．211 D．212
[解析] 由题意可得，二项式的展开式满足Tr＋1＝Cxr，且有C＝C，因此n＝10.令x＝1，则(1＋x)n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则(1＋x)n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为(210＋0)＝29.故本题正确答案为A．
3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( D )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
[解析] x5系数应是(1＋x)10中含x5项的系数减去含x2项的系数．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
4．(2019·潍坊市五校联考)已知(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，当r＝n时为常数项，即(－1)nCn＝15，经检验n＝6.
5．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得
C·35＝C·36，
即
＝3×(n≥6)，
得n＝7.
6．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( A )
A．奇数 B．偶数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C
＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－
＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，
∴n＋1为偶数，∴n为奇数．
二、填空题
7．(2018·天津理，10)在5的展开式中，x2的系数为____.
[解析] 因为5的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－rr＝(－1)r2－rCx，令＝2，
解得r＝2，即T3＝T2＋1＝(－1)22－2Cx2＝x2.
所以在5的展开式中，x2的系数为.
8．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答)．
[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
9．已知(x－)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__.
[解析] Tr＋1＝Cx8－r(－)r
＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，
令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.
三、解答题
10．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
[解析] (1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4
＝C·24·x，
∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
B级 素养提升
一、选择题
1．(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( A )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
[解析] 展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr.
当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A．
2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( A )
A．＜x＜ B．＜x＜
C．＜x＜ D．＜x＜
[解析] 由得
∴＜x＜.
二、填空题
3．(2019·浙江卷，13)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是__16__，系数为有理数的项的个数是__5__.
[解析] 由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
4．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝____.
[解析] 观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝.
三、解答题
5．(2019·抚顺市六校)已知(－)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10?1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项．
[解析] 由题意知，第五项系数为C(－2)4，第三项的系数为C(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式Tr＋1＝C()8－r(－)r＝C(－2)rx－2r，令－2r＝，得r＝1，
故展开式中含x的项为T2＝－16x.
6．(2019·湛江高二检测)在二项式 (－)n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0；
∵n≥2，∴n＝8.
(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·(－)4＝.
(3)研究系数绝对值即可，
解得2≤r≤3，
∵r∈N，∴r＝2或3.∵r＝3时，系数为负．
∴系数最大的项为T3＝7x.
C级 能力拔高
已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，
(1)试求f(x)的展开式中的x2的系数的最小值；
(2)对于使f(x)的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(3)利用(1)中m与n的值，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)
[解析] (1)根据题意得：C＋C＝7，即 m＋n＝7①，
f(x)的展开式中的x2的系数为C＋C＝＋＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－)2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
(2)当m＝3、n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4、n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(3)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02.
课件53张PPT。第 一 章计数原理§5 二项式定理自主预习学案
1．二项式定理及相关的概念(n∈N＋) r＋1 等距离 2n 2n－1 D B 3．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为______.(用数字作答)60 －10 互动探究学案命题方向1 ?求二项展开式中特定的项典例 1『规律总结』 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
特别提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．[思路分析] 首先由第6项为常数求项数n，再根据通项公式求x2项的系数和有理项．命题方向2 ?展开式中的系数问题 (1)若(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9(x∈R)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________.
(2)已知(x＋1)2009＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2009x2009，则a0＋a1＋a2＋…＋a1004＝ ( )
A．22009 B．22008
C．21005 D．21004典例 249－1 B
〔跟踪练习2〕
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[思路分析] (1)要求的是除了常数项a0之外的其他项的系数和，令x＝1求得所有项的系数和，令x＝0求得a0，问题可解．
(2)由a1、a3、a5、a7对应的x的指数幂都是奇数，剩下各项对应的x的指数幂都是偶数，分别令x＝1，x＝－1，可区别指数幂为奇数或偶数的项．
同理可解(3)．(3)方法一：由于偶次项系数是正数，奇次项系数是负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－…－a7.
由(2)中②式知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
方法二：依据(1＋2x)7与(1－2x)7的关系可知
(1＋2x)7＝|a0|＋|a1|x＋|a2|x2＋…＋|a7|x7.
令x＝1可得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.命题方向3 ?二项式系数与项的系数问题典例 3[思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
〔跟踪练习3〕
(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝ ( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是_________.D －120 命题方向4 ?求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．典例 4
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋3，即199510＝(8×249＋3)10，它的展开式中除末项310外，其余各项均含有8这个因数，故199510被8除的余数与310被8除的余数相同，而310＝95＝(8＋1)5，(8＋1)5的展开式中除最末一项1外，其余各项均含有8这个因数，故310被8除的余数为1，从而199510被8除的余数也为1.
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．
(3)要注意余数的取值范围，a＝c·r＋b，b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．用二项式定理处理整除性问题或求余数问题 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
(2)求9192被100除所得的余数．典例 5『规律总结』 利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
整除性问题或求余数问题的处理方法：
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．〔跟踪练习5〕
求0.9986的近似值，使误差小于0.001.典例 6混淆二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数致误[辨析] 错解有两处错误，一是m应为各项系数的和而不是各项二项式系数的和；二是求二项式系数最大的项的系数，而不是求二项式系数最大的项是第几项．[点评] 要注意区分某项的系数与二项式系数．A B C 4．对于二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．课 时 作 业 学 案
