第二章 §1
A级 基础巩固
一、选择题
1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1 200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是( A )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
2．6件产品有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的为( B )
A．取到产品的个数 B．取到正品的个数
C．取到正品的概率 D．取到次品的个数
[解析] 取到正品的个数不是固定值为0,1，其余都是固定值．
3．已知离散型随机变量的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.□0
0.15
0.4□
其中□为丢失的数据，则丢失的数据分别为( D )
A．2,0 B．2,5
C．3,0 D．3,5
[解析] 由题知，随机变量取所有值的概率之和等于1，可以得到应填的数据分别为3,5.故选D．
4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝.
5．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( D )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
[解析] 只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D．
6．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P(ξ＝－2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝5)＝，则P(ξ＝0)的值为( C )
A．0 B．
C． D．
[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P(ξ＝－2)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝1，所以＋P(ξ＝0)＋＋＝1.解得P(ξ＝0)＝.
二、填空题
7．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，取后不放回，若抽取次数为X，则{X＝3}表示的试验结果是__前两次均取得正品，第三次取到次品__.
[解析] 由题意知，当抽取到第3次停止，表示前两次均取到正品，第三次取到次品．
8．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝____，P(6<ξ≤14)＝____.
[解析] 因为P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＋…＋P(ξ＝16)＝1，且P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)，所以P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)＝，则P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝×8＝.P(6<ξ≤14)＝p(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝×8＝.
9．设随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
m
则m＝____，η＝ξ－3的分布列为__ __.
[解析] 首先由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，得m＝.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．
三、解答题
10．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
[解析] 因为x，y可能取的值为1,2,3.
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0,1,2,3，
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，
第二次抽到卡片号码为y，
则随机变量ξ取各值的意义为：
ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)．
ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)．
ξ＝2表示(1,2)，(3,2)．
ξ＝3表示(1,3)，(3,1)．
B级 素养提升
一、选择题
1．对一批产品逐个进行检验，第一次检验到次品前已检验的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为( D )
A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
[解析] 由题意ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测的是一件次品，故选D．
2．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则P的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＋＋
＝c
＝c＝1.∴c＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＝.
二、填空题
3．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为__－1,0,1,2,3__.
[解析] X＝－1表示甲抢到1题但答错了，若乙两题都答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0时，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错．
X＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
4．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝____.
[解析] 依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)
＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝.
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.
三、解答题
5．设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak，(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；(2)求P(X≥)；
(3)P([解析] (1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1得a＝.
(2)因为分布列为P(X＝)＝k(k＝1、2、3、4、5)
解法一：P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝.
解法二：P(X≥)＝1－[P(X＝)＋P(X＝)]＝1－[＋]＝.
(3)因为6．为了备战2018年世锦赛，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了塞尔维亚队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
[解析] (1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
C级 能力拔高
一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否是离散型随机变量．
[解析] (1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3个
黑球
取得1个白
球2个黑球
取2个白球
1个黑球
取3个
白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6，故η的可值取值为6,11,16,21显然，η为离散型变量．
课件54张PPT。第 二 章概 率
本章知识概述：本章内容是《数学3(必修)》所学概率知识的深入和扩展，在高中数学中占有重要的地位．离散型随机变量的分布列、期望，独立事件同时发生的概率是高考的重点和热点，近几年高考中多以选择题或填空题的形式考查，但是以解答题形式综合考查这三个知识点，仍然是一大趋势．另外，正态分布的简单概率求解，逐渐在各地高考试卷中以选择题形式考查．
本章的重点是：随机变量的概念的理解及其分布列、期望、方差的求解，独立事件同时发生的概率的求解；难点是：随机变量意义的理解，独立事件的判断，期望和方差在实际中的应用．学习时应注意以下几点：
1．正确认识和理解随机现象，揭示其本质特点，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．注意条件概率与事件的相互独立性两个概念之间的联系，并能解决一些简单问题．
3．牢记取有限值的离散型随机变量的均值与方差的计算公式，并能进行简单应用．
4．通过实际问题，借助直观图形，认识正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义．§1 离散型随机变量及其分布列自主预习学案
1．我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个____________.通常用大写的英文字母如X、Y来表示．
2．若随机变量的取值能够一一列举出来，则这样的随机变量称为__________________.随机变量 离散型随机变量 3．我们设离散型随机变量X的取值为a1、a2、…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)(1)，上式也可列成下表：
_____________________________________
我们将上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．
显然pi______0，p1＋p2＋…＝_____(也称为分布列的性质)．> 1 如果随机变量X的分布列为上表或(1)式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为______________.1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 ( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3…
B
2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
[解析] 水位在(0,18]内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．
B
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是____________________.
[解析] 三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．
{6,3,0，－3} 4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．
[解析] 含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．
所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．
X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，
X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，
X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，
X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，
X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，
X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．互动探究学案命题方向1 ?随机变量及其取值的意义 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．典例 1
[解析] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
『规律总结』 随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．〔跟踪练习1〕
投掷均匀硬币一次，随机变量为 ( )
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
[解析] 掷一枚硬币，可以出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一个随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，A正确．而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．A 命题方向2 ?随机变量的判定 有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是 ( )
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
[思路分析] 判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
[解析] 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．典例 2C 『规律总结』 判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤
(1)根据题意分析变量是否为随机变量；
(2)求随机变量的值域；
(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．
〔跟踪练习2〕
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)小明回答20道选择题，答对的题数；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.
[解析] (1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．命题方向3 ?离散型随机变量分布列的性质典例 3D [思路分析] 由分布列的性质列出关于q的等式或不等式求解．『规律总结』 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用随机变量分布列的性质“pi≥0”与“p1＋p2＋…＋pn＝1”，可以求出分布列中某个未知概率或参数；
(2)根据给出的分布列可求出随机变量在某一范围内的概率；
(3)利用分布列的性质可检验所求分布列及某些事件的概率是否正确．(3,4] 命题方向4 ?离散型随机变量的分布列 (2019·山东日照实验中学月考)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．典例 4『规律总结』 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概型的概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．
〔跟踪练习4〕
从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．
[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．
当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4. 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2016年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X.
[思路分析] 明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．典例 5离散型随机变量的取值
[解析] (1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
『规律总结』 因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果．还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．
〔跟踪练习5〕
写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；
(2)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含次品的件数X.
[解析] (1)X可取1,2,3.
X＝i表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1,2,3.
Y可取0,1,2.
Y＝i表示“取出i支红粉笔，3－i支白粉笔”，其中i＝0,1,2.
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4.
X＝i表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4. 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．
典例 4离散型随机变量的可能取值搞错致误
[错解] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
X＝0表示一关没过；
X＝1 000表示只过第一关；
X＝3 000表示只过第二关；
X＝6 000表示只过第三关．
[辨析] ①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；
②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．
[正解] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
{X＝0}表示“第一关就没有通过”；
{X＝1 000}表示“第一关通过，而第二关没有通过”；
{X＝3 000}表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
{X＝6 000}表示“三关都通过”．
[点评] 理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．
〔跟踪练习6〕
一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X的试验结果有______种．〔跟踪练习6〕
一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X的试验结果有______种．20 1．下列变量中，不是随机变量的是 ( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
[解析] 标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．B 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是 ( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
[解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C．
C
3．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是 ( )
A．X和ξ B．只有Y
C．Y和ξ D．只有ξ
[解析] 某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B．
B 4．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙，依次试验次数X的最大可能取值为 ( )
A．5 B．2
C．3 D．4
[解析] 一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，根据试验规则，试验次数X的最大值为4.D
5．同时掷两枚质地均匀的硬币．
(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
(2)X<2和X>0各表示什么？
[解析] (1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2，中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．
用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．
课 时 作 业 学 案
