第二章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为的是( D )
A．都不是白球 B．恰有1个白球
C．至少有1个白球 D．至多有1个白球
[解析] P(都不是白球)＝＝，P(恰有1个白球)＝＝，P(至少有1个白球)＝＝，
P(至多有1个白球)＝＝，故选D．
2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( D )
A． B．
C． D．以上均不对
[解析] 至少有一个是一等品的概率是
或.
3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从参数为N＝5，M＝2，n＝2的超几何分布，故P(X＝1)＝＝.
4．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是( C )
A．P(X＝0) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
[解析] 当X＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X＝1时，有P(X＝1)＝.
5．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X，则X服从N＝50，M＝2，n＝10的超几何分布，其中抽到1件次品的概率是P(X＝1)＝.
二、填空题
6．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__0.7__.
[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C种，至少有1名男生参加的可能结果有CC＋C种，所以概率为＝0.7.
7．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的概率是__0.001 8__.
[解析] 因为一副扑克牌中有4张A，所以根据题意，抽到扑克牌A的张数X为离散型随机变量，且X服从参数为N＝52，M＝5，n＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋
＝＋≈0.001 8.
故至少有3张A的概率约为0.001 8.
8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____.
[解析] 设选出4人中，会说日语的人数为X，则X服从N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布．
∴有两人会说日语的概率为：
P(X＝2)＝＝.
三、解答题
9．在装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，写出随机变量X的概率分布列．
[解析] 由题意知，随机变量X的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝0.3(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝0.3)．
故随机变量X的概率分布列为：
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
10．某学院为了调查本校学生2019年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)随机变量Y的所有可能取值为0、1、2.
P(Y＝0)＝＝；
P(Y＝1)＝＝；
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
B级 素养提升
一、选择题
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( C )
A． B．
C． D．1
[解析] 由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
2．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为( C )
A．P(X＝6) B．P(X＝5)
C．P(X＝3) D．P(X＝7)
[解析] 由题意可知随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布，由公式P(X＝k)＝易知表示的是k＝X＝3的取值概率．
二、填空题
3．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____.
[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率为P(X＝1)＝＝.
4．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为____.
[解析] 设抽到次品的件数为X，则X服从参数为N＝50，M＝5，n＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝.
即出现次品的概率为或P＝1－＝.
三、解答题
5．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．
求：(1)甲答对试题数X的分布列；
(2)乙所得分数Y的分布列．
[解析] (1)X的可能取值为0、1、2、3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以甲答对试题数X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
(2)乙答对试题数可能为1、2、3，所以乙所得分数Y＝5、10、15.
P(Y＝5)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(Y＝15)＝＝.
所以乙所得分数Y的分布列为
Y
5
10
15
P
6．(2019·长春高二检测)盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P
C级 能力拔高
(2019·福建模拟)持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限行措施，该市某报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；
(2)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率P(η＝k)取得最大值的整数k.
[解析] (1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为×100%＝64%，被调查者年龄的平均值约为：
＝43(岁)．
(2)依题意得ξ＝0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝·＝×＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝2)＝·＋·＝×＋×＝＝，
P(ξ＝3)＝·＝×＝＝，
所以ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
(3)因为P(η＝k)＝，其中k＝2,3,4，…，20，所以＝＝，
当≥1，
即k≤12＋时，P(η＝k＋1)≥P(η＝k)；
当<1，
即k>12＋时，P(η＝k＋1)
即P(η＝2)P(η＝14)>P(η＝15)>…>P(η＝20)．
故有P(η＝k)取得最大值时k＝13.
课件42张PPT。第 二 章概 率§2 超几何分布自主预习学案投掷一颗骰子，所得点数记为ξ，则ξ可取哪些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列出表示ξ取各值的概率与ξ取值的对应关系吗？
超几何分布列 超几何分布 1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为 ( )
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
[解析] 根据超几何分布概率模型知．A D 4．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是______.互动探究学案命题方向1 ?求超几何分布的分布列 在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列．典例 1〔跟踪练习1〕
某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．命题方向2 ?超几何分布的应用 某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况：有20人参加1次活动，有50人参加2次活动，有30人参加3次活动．
(1)从这些学生中任选两名，求恰好有一名参加1次活动的概率；
(2)从这些学生中任选两名，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．典例 2〔跟踪练习2〕
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1、x2、x3，随机变量X表示x1、x2、x3的最大数，求X的概率分布．求离散型随机变量的分布列，明确离散型随机变量所取的每个值表示的意义是关键，其一般步骤是：
(1)明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出离散型随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出其分布列．离散型随机变量的分布列的求法 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张；
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得奖品总价值为Y元，求Y的分布列．典例 3『规律总结』 求超几何分布的分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)用表格的形式列出分布列．
〔跟踪练习3〕
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率． 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．典例 4『规律总结』 错解中混淆了M与n的取值，在本题中M指红球个数，应为10，n指任意取出的球的个数，应为5.〔跟踪练习4〕
盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的概率分布．1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的球的最大号码；②Y表示取出的球的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是 ( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．B B B B 课 时 作 业 学 案