第二章 §4
A级 基础巩固
一、选择题
1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( C )
A．0.93×0.1 B．0.93
C．C×0.93×0.1 D．1－0.13
[解析] 由独立重复试验公式可知选C．
2．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是( D )
A． B．
C． D．C·0.55
[解析] 本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为C0.53(1－0.5)5－3＝C0.55.
3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] P＝C22＝.
4．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( C )
A．C2× B．C2×
C．2× D．2×
5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( A )
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．[0.6,1) D．(0,0.6]
[解析] 由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
∴Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p<1，∴0.4≤p<1.
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( D )
A．0.216 B．0.36
C．0.432 D．0.648
[解析] 甲获胜有两种情况，一是甲以2?0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2?1获胜，此时p2＝C·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.
二、填空题
7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有__①③__.
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
[解析] 对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0、1、2……n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，)．
对于②，ξ的取值是1、2、3……P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1、2、3……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.
故应填①③.
8．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0[解析] 所有同学都不通过的概率为(1－p)n，故至少有一位同学通过的概率为1－(1－p)n.
9．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝__10__.
[解析] 当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k
＝20·C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
三、解答题
10．(2019·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量(单位：克)，整理后得到如下的频率分布直方图(其中重量的分组区间分别为(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515])．
(1)若从这40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；
(2)若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
[解析] (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12，
由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，
设Y为从该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B(5,0.3)，
故所求概率为P(Y＝2)＝C×0.32×0.73＝0.308 7.
B级 素养提升
一、选择题
1．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( B )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3()2＝C()5＝C()5.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A )
A．0.665 B．0.56
C．0.24 D．0.285
[解析] 设A＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．
∵P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
二、填空题
3．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为____.
[解析] 由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝
＝CP0(1－P)2，∴P＝，
∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)
＝1－CP0(1－P)4－CP(1－P)3
＝1－－＝.
4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____.
[解析] 设篮球运动员罚球的命中率为P，则由条件得P(ξ＝2)＝1－＝，∴C·P2＝，∴P＝.
三、解答题
5．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
∵P(X＝0)＝C×()4＝，
P(X＝1)＝C××()3＝，
P(X＝2)＝C×()2×()2＝，
P(X＝3)＝C×()3×＝，
P(X＝4)＝C×()4×()0＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
6．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
[解析] (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.
(2)由题意知：X＝0,1,2,3.
∵P(X＝0)＝C·()3＝，
P(X＝1)＝C·()1·()2＝，
P(X＝2)＝C·()2·()1＝，
P(X＝3)＝C·()3＝.
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
C级 能力拔高
(2019·吉林高二检测)清明节小长假期间，某公园推出飞镖和摸球两种游戏，甲参加掷飞镖游戏，已知甲投中红色靶区的概率为，投中蓝色靶区的概率为，不能中靶概率为；该游戏规定，投中红色靶区记2分，投中蓝色靶区记1分，未投中标靶记0分；乙参加摸球游戏，该游戏规定，在一个盒中装有大小相同的10个球，其中6个红球和4个黄球，从中一次摸出3个球，一个红球记1分，黄球不记分．
(1)求乙恰得1分的概率；
(2)求甲在4次投掷飞镖中恰有三次投中红色靶区的概率；
(3)求甲两次投掷后得分ξ的分布列．
[解析] (1)设“乙恰得1分”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)因每次投掷飞镖为相互独立事件，故在4次投掷中，恰有3次投中红色靶区的概率P4(3)＝C()3(1－)＝.
(3)两次投掷后得分ξ的取值为0、1、2、3、4，
且P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝1)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C××＋×＝；
P(ξ＝3)＝C××＝；
P(ξ＝4)＝×＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
课件55张PPT。第 二 章概 率§4 二项分布自主预习学案
1．n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下___________________，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝___________________________________.重复地做n次试验 X～B(n，p) 1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312A B 互动探究学案命题方向1 ?独立重复试验概率的求法 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路分析] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．典例 1
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.『规律总结』 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．命题方向2 ?二项分布典例 2[思路分析] (1)设出事件，利用独立事件求概率；(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可．
命题方向3 ?二项分布的应用典例 3『规律总结』 1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．二项分布中的概率最值问题 某一批产品的合格率为95%，那么在取出其中的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
[思路分析] 设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ服从二项分布，比较P(ξ＝k－1)与P(ξ＝k)的大小得出结论．典例 4
9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．典例 4审题不清致误[辨析] 每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误．[点评] 审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析，弄清条件与结论，发掘一切可用的解题信息．1．下列随机变量X不服从二项分布的是 ( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数B 2．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则 ( )
A．p1＋p2＋…＋pn＝1 B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0 D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1B B 课时作业学案