第二章 §6
A级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝e，则( C )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
[解析] 由φ(x)＝e，得μ＝2，σ＝.故选C．
2．(2018·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68)( D )
A．60% B．68%
C．76% D．84%
[解析] ∵X服从正态分布N(100,100)，
∴P(90≤X＜100)＝P(90≤X≤110)＝×0.68＝0.34，
P(X≥100)＝0.5，
∴P(X≥90)＝0.34＋0.5＝0.84.
故选D．
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( D )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析] 由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又＝，∴σ2＝1.故选D．
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为( C )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
[解析] 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( D )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
[解析] 由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，
∴P(ξ>120)＝0.1，
∴P(90≤ξ<120)＝[1－2P(ξ<60)]
＝×(1－0.2)＝0.4，故选D．
6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( B )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
[解析] 设η＝，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)
＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．
二、填空题
7．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图像关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为____.
8．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于__0.3__.
[解析] ∵ξ～N(2，σ2)，∴P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝0.2.∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝×[1－2P(ξ≥4)]＝×[1－2×0.2]＝0.3.
9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中真命题的序号是__①②④__.(写出所有真命题的序号)
[解析] 画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图像关于x＝μ对称；故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是10；
④由图像的对称性，可得④正确，故填：①②④.
三、解答题
10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%概率．(精确到0.001)
[解析] 由题意X～N(0,22)
求得P(|X|≤4)＝P(－4≤x≤4)＝0.954 4
设Y表示5件产品中合格品个数，
则Y～B(5,0.954 4)，
所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)
＝C·(0.954 4)4×0.045 6＋C·(0.954 4)5≈0.189 2＋0.791 9≈0.981.
故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.
B级 素养提升
一、选择题
1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析] 由图像可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)2．(2019·黑龙江省龙东南四校高二检测)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ≤30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝( C )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[解析] 根据题意，由随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，P(ξ≤30)＝0.2，
则可知P(30<ξ<50)＝1－P(ξ≤30)－P(ξ≥50)＝1－0.2×2＝0.6，
故选C．
二、填空题
3．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为__(24.94,25.06)__.
[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．
4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__6 826__辆．
(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4)
[解析] 由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.682 6，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0.682 6×10 000＝6 826.
三、解答题
5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
[解析] 对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝＋P(5对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝＝.
显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．
6．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)P(80≤X<85)＝－P(X≤75)＝0.2，
P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－
P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2，
所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024.
(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，
所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，
P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，
P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，
所以随机变量ξ的分布列是：
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．
C级 能力拔高
某砖瓦厂生产的砖的抗断强度X服从正态分布N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？
[解析] 解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合3σ原则，若符合，则认为这批砖合格，否则不合格．因为μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算μ－3σ和μ＋3σ.
欲判定这批砖是否合格，关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外．
由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，故X几乎必然落在上述区间内．
于是把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，
即算出的区间(μ－3σ，μ＋3σ]＝(27.6,32.4]，
而27.5?(27.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．
课件45张PPT。第 二 章概 率§6 正态分布自主预习学案高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴________，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线________对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值______；
④曲线与x轴之间的面积为_____；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示．上方 x＝μ 1 0.682 6 0.954 4 0.997 4 4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．1．(2019·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于 ( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7B D
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝________.
[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，
∴曲线关于直线x＝1对称，
∵P(ξ<2)＝0.6，
∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，
故答案为0.1.
0.1 4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______.10 互动探究学案命题方向1 ?正态曲线及其性质 如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．典例 1
B
(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] (1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．B 命题方向2 ?利用正态分布的对称性求概率 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝ ( )
A．0.477 B．0.625
C．0.954 D．0.977
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于 ( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a典例 2C B
[解析] (1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
(2)对称轴X＝2
∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a
〔跟踪练习2〕
为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是 ( )
A．997
B．954
C．819
D．683
[解析] 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．典例 3
[解析] 由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
〔跟踪练习3〕
在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人．
[解析] ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝10.
(1)在该正态分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110，
∵P(μ－2σ∴考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率为0.954 5.
(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，
∵P(μ－σ∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.682 7.
由共有2 000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)．(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
假设检验的思想
(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性． 某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
[思路分析] 由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682 6，在区间(96,104]内的概率为0.954 4，在区间(94,106]内的概率为0.997 4，所以据此可以判断结论．
[解析] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997 4，而在这个区间外的概率仅为0.002 6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．典例 4『规律总结』 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a?(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．〔跟踪练习4〕
假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2 400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．
(1)(400,600]；
(2)(300,700]．
[解析] (1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.682 6，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2 400×0.682 6≈1 638(人)．
(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2 400×0.954 4≈2 291(人)． 随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．典例 4要准确应用正态分布的对称性转化[辨析] 由于ξ～N(0,1)，∴对称轴为x＝0，
∴与(－1,0)对称的区间应为(0,1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．[正解] 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7.所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
[点评] 对于X～N(μ，σ2)，要特别注意x＝μ为其对称轴．解答正态分布问题，这是主要着眼点．〔跟踪练习5〕
已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(1<ξ≤3)＝ ( )
(参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4)
A．0.682 6 B．0.341 3
C．0.954 4 D．0.477 2B A B 3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内 ( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
[解析] 由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，
60×0.997 4≈60人．故选C．C
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________.
[解析] ∵X～N(1，σ2)，且P(0∴P(05．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？
[解析] 因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．
由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，
所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.1