第二章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设随机变量ξ等可能取值1、2、3…n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为( D )
A．3 B．4
C．9 D．10
[解析] ∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10.
2．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则D(X3)等于( A )
A．2.5 B．1.5
C．0.5 D．3.5
[解析] 由已知得解得
故D(X3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.
3．已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于( B )
X
0
1
P
m
2m
A． B．
C． D．
[解析] 由m＋2m＝1得，m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝，故选B．
4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一个必要不充分条件是( B )
A．a＝1或2 B．a＝±1或2
C．a＝2 D．a＝
[解析] ∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)，
∴(1－3a)＋(a2＋7)＝2×3，∴a＝1或2.故选B．
5．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是( A )
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析] 由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.
6．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( A )
A．3 B．4
C．5 D．2
[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，
∴x＝3.
7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 小球落入B袋中的概率为P1＝(××)×2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.
8．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为( D )
A．13,4 B．13,8
C．7,8 D．7,16
[解析] 由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( A )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
[解析] X的取值为6、9、12，P(X＝6)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.
E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( C )
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的
[解析] X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)．
∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴选C．
11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)·b≤·2＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于__0.3__.
[解析] 根据随机变量的概率分布的性质，可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，
故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3.
14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝____.
[解析] 由条件知，P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
15．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__140__元．
[解析] 设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，－100，其概率分布列为：
X
300
－100
P
0.6
0.4
所以E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140.
16．(2019·全国Ⅰ卷理，15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4?1获胜的概率是__0.18__.
[解析] 甲队以4?1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.
∴ 甲队以4?1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)某一射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
m
0.29
0.22
(1)求m的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．
[解析] (1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
18．(本题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10?10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10?10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
[解析] (1)解：X＝2就是某局双方10?10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)解：X＝4且甲获胜，就是某局双方10?10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
19．(本题满分12分)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
[解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．
从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150,200,250,300.
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝，
∴X的分布列为：
X
150
200
250
300
P
E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.
20．(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望
EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
21．(本题满分12分)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)由已知有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以，随机变量X分布列为：
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
22．(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3?0,3?1,3?2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3?0或3?1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3?2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
[解析] (1)依次将事件“甲队以3?0胜利”“甲队以3?1胜利”“甲队以3?2胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C·()2·(1－)×＝，
P(A3)＝C()2·(1－)2×＝.
所以甲队以3?0胜利、以3?1胜利的概率都为，以3?2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3?2胜利”为事件A4，则由题意知
P(A4)＝C(1－)2·()2×(1－)＝.
由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，
由事件的互斥性得，
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2××＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
课件60张PPT。第二章概 率章末整合提升知 识 网 络专 题 突 破专题一 ?条件概率的求法1．条件概率在高考命题中出现的概率较低，且多以选择题或填空题的形式出现，难度适中．
2．计算在事件B发生的条件下事件A发生的概率，有两种方法：(1)利用条件概率的计算公式，分别计算概率P(AB)，P(B)，将它们相除即可；(2)利用缩小基本事件空间的方法计算，即将原来的基本事件空间Ω缩小为已知的条件事件B，原来事件A缩小为AB，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式计算． 抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚硬币的正面朝上的情况下，恰好出现3枚硬币正面朝上的概率为______.
[思路分析] 求出“至少出现2枚硬币正面朝上”及“恰好有3枚硬币正面朝上”的概率，利用条件概率公式求解，也可直接利用古典概型的概率公式求解．典例 1『规律方法』 在利用条件概率公式求解时，要注意事件B发生，则事件A一定发生，即A∩B＝A，故P(AB)＝P(B)．典例 2C [思路分析] 求出目标被击中的概率，然后代入条件概率公式即可．『规律方法』 目标被击中包括：甲击中但乙没击中、甲未击中而乙击中、甲和乙都击中三种情况．专题二 ?相互独立事件同时发生的概率1．相互独立事件同时发生的概率属于高考的热点内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，且常与离散型随机变量的分布列、均值、方差等综合考查．
2．计算相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
(2)根据相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；
(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果．典例 3[思路分析] (1)甲胜出包括①第1局甲胜；②第1局乙胜，第2局甲胜，两种情况；(2)分清B连胜四轮及C连胜三轮的所有情况，然后利用相应的概率公式求解．
(ⅱ)第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.
由于(ⅰ)(ⅱ)两种情况是两个互斥事件，
所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.
故C连胜三轮的概率为0.162.
『规律方法』 要注意事件的性质是互斥，还是相互独立，然后选择相应的公式求解．(1)当事件A，B互斥时，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率和．(2)当事件A，B相互独立时，那么AB发生(即A，B同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积．专题三 ?独立重复试验及二项分布1．独立重复试验及二项分布问题是每年高考的热点，题型既有选择题，填空题，也有解答题，且多以实际问题为背景与均值、方差相结合出现在解答题中．
2．判断一个试验是否为独立重复试验，依据主要有四点：(1)每次试验只有两个结果——“成功”和“不成功”；(2)n次试验相互独立；(3)每次试验的某一结果的概率保持不变；(4)随机变量的取值是确定的．若试验是独立重复试验，再根据概率计算公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)求一个事件发生k次的概率．典例 4『规律方法』 对于二项分布的均值问题，直接利用E(X)＝n·p(1－p)要比利用均值的定义求解简单的多，解题时要注意应用．专题四 ?离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差是每年高考的必考内容，且多以解答题的形式出现，难度适中，属中档题．
2．求离散型随机变量的期望与方差要熟记一个基本型(ξ)和三个特殊型(η＝aξ＋b、二项分布、超几何分布)的定义和有关公式．一般步骤如下：(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能取值；(2)求随机变量取每一个值时的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)根据数学期望的计算公式求出E(X)；(5)利用方差的计算公式求方差．但要注意不管题目中是否要求求数学期望，只要求方差，应先求数学期望．典例 5
[思路分析] (1)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；(2)由已知可得，“星队”两轮得分之和X可能的取值为0,1,2,3,4,6，进而得到X的分布列和数学期望．
[解析] (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.分类讨论思想的实质：整体问题转化为部分问题来解决，转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题．在求概率问题时，会经常遇到事件A是由多个互斥事件构成的情况(如“至少”“至多”型的概率问题)，随机变量ξ的某个取值可能对应着若干个试验结果的情形，这就需要借助分类讨论的思想方法将此类问题分成若干个小问题去解决．专题五 ?分类讨论思想 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列和数学期望；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即X≥0)的概率．
[思路分析] 解答本题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．典例 6『规律方法』 此题应用了分类讨论思想，把总得分ξ的取值分情况进行讨论，而对ξ＝－10,40之外的值又分两种情况进行讨论，讨论一定要按一定标准，做到不重不漏．专题六 ?转化与化归思想在求概率问题时，有时需将待解决或难解决的问题通过某种转化过程归结为一类已解决或易解决的问题，从而找到解决问题的突破口，使问题获得解决．典例 7[思路分析] 本题考查随机变量的分布列及数学期望，关键转化为二项分布的相关问题求解．『规律方法』 本题把随机变量的分布转化为二项分布求解，从而求解更加简单，关键抓住二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．专题七 ?数形结合思想本章的很多内容是由图表给出的，这实际上就是对数形结合思想的应用，数形结合思想在高考中占有重要位置，是高考重点考查的数学思想，它可以使题目的解答更形象、直观、一目了然． 在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；
(2)P(X>4)．
[思路分析] 本题考查正态分布，由于X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，所以μ＝2.画出正态曲线的图像，根据图像性质求相应区间的概率．典例 8『规律方法』 解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应正态曲线的图像，应用数形结合思想把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”问题．B A
3．设X～N(500,602)，P(X≤440)＝0.16，则P(X≥560)＝ ( )
A．0.16 B．0.32
C．0.84 D．0.64
[解析] ∵μ＝500，σ2＝602，即σ＝60.
根据正态分布的对称性P(X≥μ＋σ)＝P(X≤μ－σ)
∴P(X≥560)＝P(X≥500＋60)＝P(X≤500－60)
＝P(X≤440)＝0.16.
故选A．
A 4．设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)，E(ξ)＝16，则5a＋b＝ ( )
A．6 B．7
C．8 D．9B
二、填空题
5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝_________.
[解析] 由题意得X～B(100,0.02)，
∴DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
1.96 ①②④ 三、解答题
8．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．
(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率．9．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
(2)解：由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.
因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n<300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，
因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
