第一章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( C )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
[解析] 符合题意的商有A＝4×3＝12.
2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( B )
A．8 B．12
C．16 D．24
[解析] 设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.
3．若A＝2A，则m的值为( A )
A．5 B．3
C．6 D．7
[解析] 根据题意，若A ＝2A，
则有m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，
即(m－3)(m－4)＝2，解可得：m＝5；故选A．
4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
[解析] 分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有AA＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( A )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
[解析] 分三类：甲在周一，共有A种排法；
甲在周二，共有A种排法；
甲在周三，共有A种排法；
∴A＋A＋A＝20.
6．(2019·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( C )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
[解析] 根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，
则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A＝2种结果，
又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，
同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，
共有AA＝48种结果，
根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，
故选C．
二、填空题
7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__1 560__条毕业留言．(用数字作答)
[解析] 同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言．
8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有__480__种．(用数字作答)
[解析] A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占，
∴排法有A＝480.
9．2016年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)
[解析] 将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A＝24种．
三、解答题
10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
[解析] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400种．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A－AA)＝37 440种．
B级 素养提升
一、选择题
1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为( B )
A．43 B．72
C．86 D．90
[解析] 在1、2、3、4…8中任取两个作为m、n，共有A＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2…8中取一个作为n，共有AA＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A＋AA＝72.
2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( A )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
[解析] 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法；再排第二列，第二列第一行的字母有2种排法，排好此位置后，其他位置只有一种排法．因此共有2A＝12种不同的排法．
二、填空题
3．如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有__24__对．
[解析] 六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．
考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与其他侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．
4．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有__5 760__种．
[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5 760(种)．
三、解答题
5．求和：＋＋＋…＋.
[解析] ∵＝＝－＝－，
∴原式＝＋＋＋…＋＝1－.
6．“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？
[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，
百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，
百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．
C级 能力拔高
(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出2个字母的所有排列；
(2)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出3个字母的所有排列．
[解析] (1)把a，b，c，d中任意一个字母排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置上的字母排好后，第二个位置上的字母就有3种排法．
如果第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad.
同理，第一个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示．
因此，共有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc．
(2)根据(1)，从4个字母中每次取出2个字母的排列有12种，在每一种排列的后面排上其余两个字母中的任一个，就得到取出3个字母的所有排列，可以画出树形图，如图所示．
因此，共有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcB．
课件47张PPT。第 一 章计数原理§2 排 列自主预习学案2019年教师节，习近平主席来到北师大视察，听完一节课后与老师们座谈．有12位教师参加，面对习主席坐成一排．
问：这12位教师的坐法共有多少种？1．排列、排列数与排列数公式按照一定的顺序排成一列 所有不同排列的个数 n(n－1) …(n－m＋1) 全部取出 连乘积 n m m－1 m m－1 m 4．有限制条件的排列问题
①直接法：以元素为考察对象，先满足________元素的要求，再考虑________元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足________位置的要求，再考虑________位置(又称位置分析法)．
②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去____________的排列数．
③相邻元素________法，相离问题________法，定元、定位__________法，至多、至少________法，定序元素__________法．特殊 一般 特殊 一般 不合要求 捆绑 插空 优先排 间接 最后排 1．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为 ( )
A．30种 B．15种
C．81种 D．36种A D 3．从1、2、3、4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 ( )
A．2 B．4
C．12 D．24C 4．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_______种．192 互动探究学案命题方向1 ?排列的概念典例 1[思路分析] 判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．『规律总结』 确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
〔跟踪练习1〕
下列问题是排列问题吗？
(1)从5个人中选取两个人去完成某项工作．
(2)从5个人中选取两个人担任正、副组长．
[解析] (1)不是 甲和乙去，与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．
(2)是 甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同选法．命题方向2 ?排列数公式典例 2[思路分析] (1)用排列数公式的定义解答即可；(2)直接用排列数公式计算；(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解，要注意x的取值范围，并检验根是否合理．『规律总结』 应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．命题方向3 ?元素相邻问题 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 ( )
A．720 B．360
C．240 D．120典例 3C 『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路
实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．
2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．〔跟踪练习3〕
记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 ( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种B 命题方向4 ?元素不相邻问题 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？典例 4『规律总结』 不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．〔跟踪练习4〕
4名男生和4名女生站成一排
①男生不相邻的站法有__________种．
②女生不相邻的站法有__________种．
③男、女生相间的站法有__________种．(可不必计算出数值)2 880 2 880 1 152 排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目．
排列与其他知识相交汇 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b)，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．典例 5『规律总结』 解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．
〔跟踪练习5〕
某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老年者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？
4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 ( )
A．12种 B．14种
C．16种 D．24种典例 4排列的综合应用1．下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从a，b，c，d四个字母中取出2个字母，然后按顺序排列成一列．
其中是排列问题的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] ①④是排列，②③不是排列，故选B．B D D
4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是______.40 课 时 作 业 学 案
