第一章 §3
A级 基础巩固
一、选择题
1．若C＝C，则x的值为( C )
A．2 B．4
C．4或2 D．3
[解析] 由组合数性质知x＝2或x＝6－2＝4，故选C．
2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，基本事件共有C＝10个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD共4个，
∴P＝1－＝.
3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( C )
A．120 B．84
C．52 D．48
[解析] 间接法：C－C＝52种．
4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( A )
A．220个 B．210个
C．200个 D．1 320个
[解析] C＝220，故选A．
5．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( D )
A．A种 B．45种
C．54种 D．C种
[解析] 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种．
6．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( C )
A．208 B．204
C．200 D．196
[解析] 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为：C－3C－8C＝200，故选C．
二、填空题
7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答)．
[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C＋C＋C＋C＝112.
8．已知C，C，C成等差数列，则C＝__91__.
[解析] ∵C，C，C成等差数列，∴2C＝C＋C，
∴2×＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，
则C＝C＝91.
9．对所有满足1≤m[解析] ∵1≤m三、解答题
10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．
[解析] (1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C＝20种．
(2)第一步从7人中选取6人，有C种选法；第二步从6人中选2人排一列有C种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C·C·C＝630种．
B级 素养提升
一、选择题
1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 从袋中任取 2个球共有 C＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为P＝＝，故选B．
2．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( D )
A．18对 B．24对
C．30对 D．36对
[解析] 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对．
二、填空题
3．(2018·全国卷Ⅰ理，15)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)
[解析] 方法一：根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选的选法共有20－4＝16种．
方法二：恰有1位女生，有CC＝12种，
恰有2位女生，有CC＝4种，
所以不同的选法共有12＋4＝16种．
4．一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，则不同熄灯方法有__35__种．
[解析] 记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C＝35种．
三、解答题
5．将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)每盒至多一球，有多少种放法？
(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内球数不少于它的编号数，有多少种放法？
[解析] (1)这是全排列问题，共有A＝24种放法．
(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C·2＝8种放法．
(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．
(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法．
6．已知，试求x和n的值．
[解析] 由C＝C得x＝2x或x＋2x＝n，
即x＝0或n＝3x，
显然x＝0时C无意义，
把n＝3x代入C＝C得C＝C，即
＝·
∴＝，解得x＝5.∴n＝15.
C级 能力拔高
化简m！＋＋＋…＋.
[解析] 原式＝m！×(1＋C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋…＋C)
＝m！×(C＋C＋…＋C)
＝……
＝m！×C＝
课件56张PPT。第 一 章计数原理§3 组 合自主预习学案某国际会议中心有A、B、C、D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．
试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？一组 所有不同组合 1 1．下面几个问题是组合问题的有 ( )
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？
③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
A．①② B．①③④
C．①②③ D．①②③④C
[解析] ④与顺序有关，是排列问题，而①②③均与顺序无关，是组合问题，故选C．2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有________种不同选法． ( )
A．504 B．729
C．84 D．27C C 4．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行．
(1)它们共能构成__________个平行四边形；
(2)共有______个交点．1 260 80 互动探究学案命题方向1 ?组合的概念 下列问题不是组合问题的是 ( )
A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？
B．平面上有2 016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？典例 1D
[思路分析] 区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．
[解析] 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D．
『规律总结』 1.组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
2．只要两个组合的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．〔跟踪练习1〕
已知A，B，C，D，E五个元素，选出每次取出3个元素的所有组合．命题方向2 ?组合数公式典例 2[思路分析] 利用组合数公式展开后求解．∴(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，
即5(n＋4)(n＋1)＝90，
∴n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈N*，
∴n＝2.故n的值为2.命题方向3 ?简单的组合问题 从4名男生，3名女生中选出3名代表．
(1)不同的选法共有多少种？
(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
(3)代表中男、女都要有的不同选法共有多少种？
[思路分析] (1)不受限制，从7人中任意选3人，按组合定义计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即1男2女或2男1女，可分类求解，也可间接求解．典例 3『规律总结』 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．命题方向4 ?有限制条件的组合问题 (1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有______种．
(2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有______种．
典例 474 64
[思路分析] (1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生．也可用间接法，用总的选法数减去全部是男生的选法数．(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没有任何两个人是夫妻．第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻．在每一类中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确定具体的人来介绍子女的教育情况．也可以采用间接法，用总的选法数减去4位家长有2对夫妻的选法数．『规律总结』 常见的限制条件及解题方法
(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．〔跟踪练习4〕
高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
[思路分析] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．命题方向5 ?组合应用中分组分配问题 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．典例 5『规律总结』 1.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
〔跟踪练习5〕
6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
①每个盒子都不空；
②恰有一个空盒子；
③恰有两个空盒子．含组合数的化简、证明或解方程、不等式的问题 典例 6『规律总结』 1.根据有关公式把已知中给出的不等式转化为代数不等式且把握好未知数的取值范围．
2．充分利用组合数公式及其性质解题，并注意有关限制条件．C 典例 7忽视组合数中参数的限制条件致误[辨析] 运用组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制．[点评] 应用组合数公式C时要注意m、n∈N*，m≤n；由C＝C列关系式时应有m＝p或m＋p＝n；逆用公式C＝C＋C可以将较复杂的下标连续变化的组合数和式化简，要注意用准公式．{5,6,7,8,9,10,11} B A 3．(2018·佛山高二检测)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种B 4．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有_______种．(用数字作答)140 课时作业学案
