第一章 §4
A级 基础巩固
一、选择题
1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )
A．CA B．CA
C．CA D．CA
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有CA种排法．
2．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( B )
A．24种 B．18种
C．12种 D．96种
[解析] 先选后排CA＝18，故选B．
3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( A )
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个
[解析] 先选取3个不同的数有C种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．
4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C种方法．第二类，3本集邮册全取 ，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C种方法，∴共有C＋C＝10种赠送方法．
5．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有( B )
A．60种 B．72种
C．84种 D．96种
[解析] 解法一：根据题意，分两种情形讨论：
①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有CCCA＝36种选派方案．
②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C·A·A＝36种选派方案，
综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，
故选B．
解法二：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有CA＝72种选法．
6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( B )
A．72 B．120
C．144 D．168
[解析] 分两类：(1)先排歌舞类有A ＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2AA ＝72；(2)先排歌舞类有A＝6种排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4AC ＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．
二、填空题
7．(2018·浙江模拟)分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__36__种(用数字作答)．
[解析] 根据题意，分2步分析：
①，将4名水暖工分成3组，有C＝6种分组方法，
②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有A＝6种分配方法，
则有6×6＝36种不同的分配方案；
故答案为36.
8．(2018·浙江卷，16)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__1 260__个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
[解析] 分类讨论：第一类：不含0的，按照分步乘法计数原理：CCA＝10×3×24＝720；第二类：包含0的，按照分步乘法计数原理：CCAA＝10×3×3×6＝540，所以一共有1 260个没有重复数字的四位数．
9．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__(注：用数字作答)．
[解析] 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有2AA＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有CAA＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．
B级 素养提升
一、选择题
1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3…18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 从18人中任选3人，有C种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形)，∴所求概率P＝＝.
2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D )
A．120 B．119
C．110 D．109
[解析] 5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A种，其中3个号码一致的坐法有C种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A－C－1＝109.
二、填空题
3．航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有__36__种．
[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有AA＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．
4．(2017·天津理，14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1 080__个．(用数字作答)
[解析] ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
三、解答题
5．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
[解析] (1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120种选法．
(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．
解法二：(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C；故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？
(2)四个盒都不空的放法有多少种？
(3)恰有一个空盒的放法有多少种？
(4)恰有两个空盒的放法有多少种？
(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
[解析] (1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．
(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A＝24种．
(3)由题意知，必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C·C·A＝144种．
(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C·(＋C·C)·A＝84种．
(5)分三类放法．
第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法(可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42种放法．故此类放法的种数是3×42；
第二类：甲球放入2号盒子，即，则乙球有2种放法(可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法．故此类放法的种数是2×42；
第三类：甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法，故此类放法的种数是1×42.
综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．
C级 能力拔高
不定方程x1＋x2＋…＋x10＝100的正整数解有多少组？
[解析] 不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的方程，像方程x1＋x2＋…＋xn＝m就是一个最简单的不定方程，解决这类问题的常用方法是“隔板法”．
解：考虑并列出100个：，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙．在这99个空隙中，放上9个“＋”号，每个空隙中至多放1个，共有C种放法，在每一种放法中，这100个数被“＋”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“x1，x2，…，x10”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“＋”号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有C组．
课件59张PPT。第 一 章计数原理§4 简单计数问题自主预习学案
从16个蓝数码中选1个，一共选七个数码，如果你买的一注彩票与这7个数码全部一样(不管顺序)就中特等奖，如果6个一样就中一等奖，以此类推．有人想，这么高的奖金为何不全部买下来呢？问题是，如果全部买下来需要买多少注呢？每注两元，一共要花多少钱呢？这样的问题如何计算呢？它需要用到什么数学知识呢？这是一个组合计数问题，如何利用组合数公式来解决此问题呢？一一对应
3．排列应用题的最基本的解法有：
直接法：以________为考察对象，先满足____________的要求，再考虑____________(又称元素分析法)；或以________为考察对象，先满足____________的要求，再考虑____________(又称位置分析法)．
4．间接法：先不考虑附加条件，计算出______________________，再减去______________________________.
元素 特殊元素 其他元素 位置 特殊位置 其他位置 全部元素的排列顺序 不符合要求的元素的排列顺序
5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先________后一般，先分组后排列，先________后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为____________的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．
6．几何图形的问题：一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或说是排除法)．特殊 分类 排列组合 1．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 ( )
A．100 B．110
C．120 D．130B 2．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ( )
A．72 B．96
C．108 D．144C 3．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_______种(用数字作答)．264 [解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如
，
下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”“立定”“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A(2＋9)＝264种．4．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_______(用数字作答)．336 互动探究学案命题方向1 ?与染色有关的计数问题 如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？
[思路分析] 可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色．典例 1『规律总结』 本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染色要注意依次染色，主要方法有：①根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个分步染色．A 命题方向2 ?几何元素的计数问题 在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？
[思路分析] 解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．典例 2『规律总结』 几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”：如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等．解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算．〔跟踪练习2〕
四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？命题方向3 ?利用“隔板法”解决分配问题 有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名，共有多少种不同分法？典例 3
〔跟踪练习3〕
有10个相同的小球装入3个编号分别为1、2、3的盒子中(每次要将10个球装完)，要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的做法种数是______.15 命题方向4 ?含有双重元素的组合问题 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
[思路分析] 由题意知有1人既会英语又会日语．在选择2人时，可根据只会英语的人进行分类完成．典例 4
[解析] 由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选1人说英语有6种方法，则会日语的有2＋1＝3(种)．
此时共有6×3＝18(种)．
第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语有1种方法，此时选会日语的有2种．
故共有1×2＝2(种)方法．
所以由分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．
『规律总结』 两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．
〔跟踪练习4〕
车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名工人中选派4名钳工、4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
[思路分析] 把11名工人按男钳工、女车工和老师傅分为三类，然后根据要求在每一类中选取所需人数．命题方向5 ?定位定元问题 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．
典例 5
[思路分析] (1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．
(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A种排法，再排其他人．
(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．
用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．『规律总结』 有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．
1．至多、至少间接法
当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．
①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．
②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．〔跟踪练习5〕
(2017·辽宁抚顺一中检测)从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一排，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
[思路分析] 因为只需从7名同学中选出5名同学参与排列，所以应对有特殊限制的元素是否被选出参与排列分类考虑，然后再利用排列的知识进行解题．排列与组合的综合应用题的背景丰富、情境陌生，无特定模式和规律可循．因此，必须认真审题，把握其本质特征，化归为排列组合的常规模型来求解，其一般解法是：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按元素的性质分类或按事情的发生过程分步．
解排列组合题的“16字方针，12个技巧”．
排列与组合的综合应用 (1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合．
(2)“12个技巧”是解排列组合题的捷径，即：
①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；
⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；
⑨至少(或至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；
?局部与整体问题排除法； ?复杂问题转化法． 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( )
A．300种 B．240种
C．144种 D．96种典例 6B 〔跟踪练习6〕
有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
[解析] 在解本题时应考虑两方面的问题：(1)0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此必须同时考虑0与1的分类；(2)每张卡片都有正面与反面两种可能．解法上既可用直接法，也可用排除法． 有12本不同的书，分成4堆．
(1)若每堆3本，有几种方法？
(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)典例 7要正确区分分堆与分配问题1．某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为 ( )
A．84 B．72
C．76 D．130D 2．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ( )
A．150种 B．180种
C．200种 D．280种A
3．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有 ( )
A．24种 B．36种
C．38种 D．108种B 4．6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书，有不同分配方法______种．10 5．将数字1、2、3、4、5、6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1
