第三章 §1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )
A．28 B．32
C．33 D．27
[解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9，12…故x＝20＋12＝32.
2．下列关于归纳推理的说法错误的是( A )
①归纳推理是由一般到一般的推理过程；
②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；
③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；
④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
[解析] 归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( B )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
[解析] 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( A )
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
5．(山东高考)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( D )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[解析] 通过观察所给的结论可知，若f(x)为偶函数，则导数g(x)是奇函数．故选D．
6．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( D )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．
二、填空题
7．经计算发现下列正确不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b成立的条件不等式：__当a＋b＝20时，有＋≤2(a>0，b>0) .
[解析] 各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.
三、解答题
8．已知Sn＝＋＋＋…＋，写出S1、S2、S3、S4的值，并由此归纳出Sn的表达式．
[分析] 在Sn中分别令n＝1、2、3、4，可以求得S1、S2、S3、S4的值，再进行归纳推测．
[解析] S1＝＝；
S2＝＋＝＋＝＝；
S3＝＋＋＝＋＝＝；
S4＝＋＋＋＝＋＝＝；
由此猜想：Sn＝(n∈N＋)．
B级 素养提升
一、选择题
1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如下图)，
则第n个正方形数是( C )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
[解析] 第n个正方形数的数目点可排成每边都有n个点的正方形，故为n2.
2．将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：
根据以上规律判定，从2 013到2 015的箭头方向是( B )
[解析] 本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化．
∵2 013＝4×503＋1，∴2 013的起始位置应与1的起始位置相同，故选B．
3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( A )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
[解析] a3＝a2－a1＝6－3＝3，
a4＝a3－a2＝3－6＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，
a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，
a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3，
a8＝a7－a6＝6.
归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故应选A．
4．如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( A )
[解析] 由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转144°得到的，故由第三个图形顺时针旋转144°得到的图形应为A．
二、填空题
5．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形中不等式＋＋＋≥成立，在五边形中＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式：__＋＋＋…＋≥ .
[解析] 不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式＋＋＋…＋≥成立．
6．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆有4个，第(3)堆有10个…，则第n堆有__n(n＋1)(n＋2) 个小正方体．
[解析] 第一堆有1个；第二堆有1＋(1＋2)＝4个；第三堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10个；…；第n堆有1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)(n＋2)个．
三、解答题
7．由下列各式：
1>，
1＋＋>1，
1＋＋＋＋＋＋>，
1＋＋＋＋…＋>2，
请你归纳出一般结论．
[解析] 将题中所给四个式子变形>，
1＋＋>，
1＋＋＋＋＋＋>，
1＋＋＋＋…＋>，
归纳概括，猜测得1＋＋＋…＋>.
8．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．
(1)求f(4)；
(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．
[解析] (1)如图所示，可得f(4)＝5.
(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，
f(5)＝9＝f(4)＋4，
f(6)＝14＝f(5)＋5.
……
∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，
累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2，n∈N＋)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1.
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
课件52张PPT。第三章推理与证明人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来．这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩．在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域．显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了．A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色．还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开．于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了．正式提出地图着色问题的时间是1852年．但这个问题迟迟未得到解决．直到1976年9月，《美国数学会通告》宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题．
四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明．同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！§1 归纳与类比第1课时 归纳推理自主预习学案我们在买葡萄的时候，往往先尝一尝，如果很甜，就认为所有的葡萄都很甜，就放心地买上一大串．1．推理
(1)推理的概念
根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫作推理．推理一般由两部分组成：________和_________.
(2)合情推理
合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．前提 结论 归纳推理 类比推理 2．归纳推理
(1)概念
根据一类事物的____________具有某种性质，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性的推理方式，叫作归纳推理(有时简称归纳)．归纳推理是从个别到一般，由________到________的推理．
(2)特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围．部分事物 部分 整体
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
(3)归纳推理的步骤
其一般步骤为：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．合情推理的几个注意点：
(1)合理推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．
(2)合情推理的结论，可能为真，也可能为假．
(3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向，对于数学的创新和发现十分有用．1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
[解析] 第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.B2．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )
A．■ B．△
C．□ D．○
[解析] 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．AC 归纳推理 互动探究学案命题方向1 ?数与式的归纳分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
[思路分析] 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明．『规律方法』 1.归纳推理的一般步骤
(1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质．
(2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题．
(3)猜测一般性结论
2．归纳推理的基本逻辑形式是：
S1是(或不是或具有性质)P，
S2是(或不是或具有性质)P，
S3是(或不是或具有性质)P，
……Sn是(或不是或具有性质)P.
∵S1、S2、S3、…，Sn是S类的对象，∴所有S都是(或都不是或都具有性质)P.
3．由已知数、式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．命题方向2 ?数列中的归纳推理[思路分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等．
[解析] (1)考察相邻两数的差：
5－1＝4,9－5＝4，
13－9＝4,17－13＝4，
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.『规律方法』 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法．〔跟踪练习2〕
若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
[解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．命题方向3 ?图形中的归纳推理4n＋8
[思路分析] 分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．
[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.『规律方法』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
〔跟踪练习3〕
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36B[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．归纳推理得到的结论不一定是正确的 [辨析] 由归纳推理得到的结论不一定是正确的．
[正解] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
43、47、53、61、71、83都是素数，由此猜想对于任何n∈N＋，f(n)＝n2＋n＋41都是素数．这个猜想是错误的．如f(41)＝412＋41＋41＝41(41＋1＋1)＝41×43就不是素数．1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2C
[解析] 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.B B 5．如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有____________根．
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．16 3n＋1 课 时 作 业 学 案第三章 §1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( C )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各面都是全等的正三角形，任意相邻的两个面所成的二面角都相等；
③各面都是全等的正三角形．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( C )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．
3．下列类比推理恰当的是( D )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
[解析] 选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误．
二、填空题
4．观察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为__4n＋4__.
[解析] 由已知四个式子可分析规律(n＋2)2－n2＝4n＋4.
5．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：__夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等__.
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为__a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9__.
[解析] 等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
7．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为__S＝S△OBC·S△DBC__.
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．
三、解答题
8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并判断类比的结论是否成立；
(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
[解析] 平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．
(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．
(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．
B级 素养提升
一、选择题
1．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在?ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于( C )
A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2)
[解析] 如图所示，四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形，从而有AC＋CA＝2(AC2＋AA)，BD＋DB＝2(BD2＋BB)，
所以AC＋CA＋BD＋DB
＝2(AC2＋BD2)＋4AA
＝4(AB2＋AD2＋AA)．
2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( A )
A． B．
C．－1 D．＋1
[解析] 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
∴＝(c，b)，＝(－a，b)，
又∵⊥，∴·＝b2－ac＝0，
∴c2－a2－ac＝0，
∴e2－e－1＝0，
∴e＝或e＝(舍去)，
故应选A．
二、填空题
3．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.由类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝__b__.
[解析] 将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.所以类比可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝b.
4．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝__πab__.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为__·x＋·y＝1 .
[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
5．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是S__S2＝S＋S＋S__.
[解析] 类比如下：
正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.
证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，
∵LO⊥OM，LO⊥ON，
∴LO⊥平面MON，
∵MN?平面MON，
∴LO⊥MN，∵OE⊥MN，
∴MN⊥平面OFL，
∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.
三、解答题
6．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？
[解析] 点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．
7．我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？
(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；
(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．
[解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫作等积数列，其中，这个常数叫作公积．
(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝当n为偶数时，前n项和Sn＝；当n为奇数时，前n项和Sn＝＋2＝.
即Sn＝
8．若a1、a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
[解析] 本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：≥()2，
≥()2，…，
≥()2；
第二类型：≥()3，≥()4，…，≥()n；
第三类型：≥()3，…，≥()m.
上述a1、a2、…、an∈R＋，m、n∈N*.
9．我们知道：
12＝1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
[解析] 我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝ 1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝
＝.
课件45张PPT。第三章推理与证明§1 归纳与类比第2课时 类比推理自主预习学案据传春秋时代鲁国的公输班接受了一项建筑宫殿的任务，需要很多木材，鲁班就让他的徒弟们上山砍伐树木。因徒弟们用斧头砍，效率非常低，远远不能满足工程的需要。鲁班决定上山察看，上山的时候，由于不小心，无意中抓了一把山上的一种野草，将手划破了。鲁班细心观察叶子，发现叶子两边长着小细齿，非常锋利，这使他大受启发，由此发明了锯。类比推理
(1)概念
两类不同对象具有某些________的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这类推理叫作类比推理(简称类比)．
类比推理是数学推理的一种重要形式，它的实质是根据两对象之间的相似，把信息从一个对象转移到另外一个对象，类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法．这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用．类似 (2)特点
①类比推理是由________到________的推理．
②类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征，所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
③类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．类比推理在数学发现中有重要作用．
④由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．特殊 特殊 类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式，目的是寻找事物之间的共同或相似性质，它是一种似真推理．类比推理的结论需要进一步证明其正确性，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．BC 3．医药研究中，研制新药初期，常用一些动物做药性、药理试验，最后才做临床试验与应用，通过对动物的观察，得出对人应用的一些结论，所用推理为____________.
[解析] 符合类比推理的方法，故应为类比推理．类比推理 互动探究学案命题方向1 ?事物的相似性与类比等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：『规律方法』 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等．〔跟踪练习1〕
找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质：
(1)三角形任意两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质：
①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：命题方向2 ?将命题的条件、结论类比推广『规律方法』 类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
(3)检验这个猜想
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．命题方向3 ?类比推理在数列中的应用〔跟踪练习3〕
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_________________________成立．
[解析] 本题考查等差数列与等比数列的类比．
等差数列中：若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，等比数列中：若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.
由此，猜测本题的答案为：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．b1b2…bn＝b1b2…b17－n [思路分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．1．围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，努力开发一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的原创题型，已成为一种趋势．其目的是使数学的文化性、应用性与理论性能有机结合与相互渗透，真正考查考生的学习潜能和个性品质．在这个背景下近几年出现了形式新颖的试题，其中以新定义型、新运算型为代表，主要考查学生的类比迁移能力．2.解答此类问题时，首先要借助于特例来读懂、理解新定义、新运算，然后根据新定义、新运算做出类比推理．
3．类比推理的一般形式：
对象A：具有属性a1，a2，…，an，m.
对象B：具有属性a′1，a′2，…，a′n，m′.
(a1与a′1，a2与a′2，…an与a′n相同或相似)
对象B具有属性m′(m′与m相同或相似)．(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)或(a*b)＋c＝(b*a)＋c等 『规律方法』 由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．C 2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
[解析] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．C3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．B(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．C课 时 作 业 学 案
