第三章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( C )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
[解析] 函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．
2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( D )
A．① B．②
C．①② D．③
[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为( A )
[解析] 三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．
4．(2019·广东东莞石竹附中高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：
①函数f(x)＝lgx是对数函数；②对数函数y＝logax(a>1)是增函数；②函数f(x)＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( C )
A．①→②→③ B．③→②→①
C．②→①→③ D．②→③→①
[解析] 由题意可知，大前提是“对数函数y＝logax(a>1)是增函数”，小前提是“函数f(x)＝lgx是对数函数”，结论是“函数f(x)＝lgx是增函数”，故选C．
5．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( A )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
6．若a>b>0，cA．> B．<
C．> D．<
[解析] ∵cb>0，
∴<.选B．
二、填空题
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形__.
8．三段论“平面内到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是__大前提__.
[解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．
而因为F1(－2,0)、F2(2,0)间距离为|F1F2|＝4，
所平平面内动点M到两定点F1(－2,0)、F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，
则这两个三角形全等．(大前提)
如果△ABC和△CDA的三边对应相等．(小前提)
则这两个三角形全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA．
②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)
如果△ABC和△CDA全等，(小前提)
则它们的对应角相等，(结论)
符号表示：
△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．
③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)
直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]
则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]
④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)
四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)
四边形ABCD为平行四边形．(结论)
符号表示：AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．“在四边形ABCD中，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( A )
A．省略了大前提 B．省略了小前提
C．是完整的三段论 D．推理形式错误
[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( C )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( A )
A．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠A＝∠B
B．某校高一(1)班有45人，高一(2)班有46人，高一(3)班有48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过50
C．由平面上圆的性质，推测空间球的性质
D．数列{an}满足：a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠A＝∠B，因此是演绎推理．
4．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( A )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A．
二、填空题
5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A城市__.
[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．
6．以下推理中，错误的序号为__①__.
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
7．已知数列{an}满足a1＝，且前n项和Sn满足Sn＝n2an，则an＝__ .
[解析] 解法一：(归纳法)a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
寻找分母的规律，
a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
所以an＝.
解法二：(演绎推理)Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，所以(n2＋2n)an＋1＝n2an，
所以＝，＝，…，＝，＝，＝，
所以＝.
因为a1＝，所以an＋1＝.
又因为a1＝＝.
三、解答题
8．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
[解析] 已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；
结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．
9．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数．
(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为多少；
(2)该小组人数的最小值为多少？
[解析] (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.
(2)设男学生人数为x(x∈N＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x－1，教师人数为x－2.又2(x－2)>x，解得x>4，即x＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.
课件53张PPT。第三章推理与证明§2 数学证明自主预习学案从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一幢漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．1．演绎推理
(1)演绎推理
从________________出发，推出____________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由______________的推理．
(2)演绎推理的特点
①演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 ②在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
③演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．2．三段论推理
(1)三段论概念
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的____________；
②小前提——所研究的____________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________.
(2)三段论的一般格式：
大前提：M是P，小前提：S是M，结论：__________；也可以用；若a?b，b?c，则a?c.一般原理 特殊情况 判断 S是P (3)三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”，简言之，“全体概括个体”．M、P、S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S，如图，如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S.(4)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__________正确．
为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．结论 不一定 结论 1．合情推理与演绎推理的区别
(1)推理一般包括合情推理与演绎推理．合情推理包括归纳推理和类比推理．归纳是由特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高演绎推理或逻辑证明的能力是高中课程的重要目标．
(3)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理在前提和推理形式正确的前提下得到的结论一定正确．2．合情推理与演绎推理的联系
(1)数学发现过程是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证、猜想的过程，合情推理和演绎推理相辅相成，相互作用，共同推动着发现活动的进程．数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．而演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．
(2)合情推理是富于创造性的推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．演绎推理是形式化程度较高的必然推理，为合情推理提供了前提，为探索活动提供了依据．1．演绎推理是( )
A．部分到整体，个别到一般的推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般的推理
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理．C2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确 D．大前提错
[解析] 9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．CB
[解析] 求证：“a大前提：因为在三角形中，大角对大边，
小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A<∠B，
结论：所以a故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．m“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”
[解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究学案命题方向1 ?把演绎推理写成三段论形式[思路分析] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．
[解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提
零向量是向量，小前提
所以零向量也有大小和方向．结论
(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提
正方形是矩形，小前提
正方形的对角线相等．结论『规律方法』 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．
2．判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；
(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；
(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；
(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．〔跟踪练习1〕
指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数，大前提
－3是整数，小前提
－3是自然数．结论
(2)常函数的导函数为0，大前提
函数f(x)的导函数为0，小前提
f(x)为常函数．结论命题方向2 ?三段论在证明几何问题中的应用[解析] ∵等腰三角形两底角相等，大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提
∴∠1＝∠2.结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．结论『规律方法』 应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．〔跟踪练习2〕
用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
[分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能在题目中给出，也可能是已经学过的知识．[解析] (1)每个菱形的对角线都相互垂直大前提
正方形是菱形小前提
正方形的对角线相互垂直结论
(2)若两个角是对顶角则两角相等大前提
∠1和∠2不相等小前提
∠1和∠2不是对顶角结论命题方向3 ?演绎推理在代数问题中的应用『规律方法』 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．不要张冠李戴 [辨析] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．
[正解] 因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，
所以∠A＋ACD＝∠B＋∠BCD＝90°，
在△ABC中，AC＞BC，∴∠B＞∠A，
∴∠ACD＞∠BCD．〔跟踪练习4〕
若数列{an}的首项为a1，且满足从第三项起，每一项与前一项的和都是同一个常数s，求数列{an}的通项公式．演绎推理的综合应用 已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)解：设任意的x1，x2∈R且x1f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，
所以f(x)为R上的减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.『规律方法』 函数为抽象函数，可借助图像或具体函数辅助理解；(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是( )
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无限不循环小数都是无理数
D．有理数都是有限循环小数C2．对于推理：若a>b，则a2>b2，因为1>－2，所以12>(－2)2，以下说法中正确的是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．不是演绎推理
[解析] 大前提：若a>b，则a2>b2是错误的，故选A．A3．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
[解析] 用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的四个内角相等
小前提 ③正方形是矩形
结论 ①正方形的四个内角相等
故选D．D5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．课 时 作 业 学 案
