第四章 §1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．全集I＝{复数}，集合M＝{有理数}，N＝{虚数}，则(?IM)∩(?IN)＝( D )
A．{复数} B．{实数}
C．{有理数} D．{无理数}
[解析] ?IM＝{无理数、虚数}，?IN＝{实数}，∴(?IM)∩(?IN)＝{无理数}．
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( D )
A．－2 B．
C．－ D．2
[解析] 由题意得2＋(－b)＝0，∴b＝2.
3．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( A )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D．＋i
[解析] 复数2i－的虚部为2，复数i＋2i2＝－2＋i，∴其实部为－2，故选A．
4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为( D )
A．0或－1 B．0
C．1 D．－1
[解析] ∵z为纯虚数，∴，
∴m＝－1，故选D．
5．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(0∈R)，z1＝z2，则θ等于( D )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
[解析] 由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D．
6．复数z＝a2＋b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是( D )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，
故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝__ ，y＝__1__.
[解析] 由复数相等可知
，∴.
8．给出下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是__2＋，0.618，i2 .
[解析] 2＋，0.618，i2为实数，5i＋4，i为虚数．
三、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[分析] 按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．
[解析] (1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0①
且有意义②
解①得a＝－1且a＝6，
解②得a≠±1，
∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0③
且有意义④
解③得a≠－1且a≠6，
解④得a≠±1，
∴a≠±1且a≠6，
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，，
此方程组无解，
∴不存在实数a使z为纯虚数．
B级 素养提升
一、选择题
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
[解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为( B )
A．－1 B．4
C．－1或4 D．不存在
[解析] 由条件知，，
∴，∴m＝4.
3．若a、b∈R, 且a>b，那么( D )
A．ai>bi B．a＋i>b＋i
C．ai2>bi2 D．bi2>ai2
[解析] ∵i2＝－1，a>b，∴ai24．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( C )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[解析] 由题意得，解得a＝－4.
二、填空题
5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于___－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3.
6．若复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，则θ的值是__θ＝kπ－(k∈Z) .
[解析] 由于复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即，
由cos2θ＝0可得cos2θ－sin2θ＝0，即tan2θ＝1.
∴tanθ＝±1，而1－tanθ≠0，∴tanθ＝－1.
∴θ＝kπ－(k∈Z)．
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
8．设z＝(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．
(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是，解得1(2)若z是纯虚数，则其实部(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是，解得m＝2.
课件51张PPT。第四章数系的扩充与复数的引入法国数学家笛卡儿(1596—1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．但这引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数．然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有一席之地．许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的“幽灵”——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚．虚数成为数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集．同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.§1 数系的扩充和复数的引入第1课时 数系的扩充和复数的概念自主预习学案你知道吗？复数为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用．
实数集 i2＝－1 2．复数的概念
(1)复数与复数集
我们把形如a＋bi(a、b∈R)的数叫作复数．
其中i叫作虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a、b∈R}叫作__________.
(2)复数的实部与虚部
复数通常用字母z来表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式．其中a与b分别叫作复数z的________与________，分别用Rez与Imz表示，即a＝Rez，b＝Imz.复数集 实部 虚部 实部 虚部 A1．复数1－i的虚部是( )
A．－1 B．1
C．i D．－i
[解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A．2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件
是a2－1＝0，∴a＝±1.C3．(2019·山师附中高二期末测试)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m－1)i表示纯虚数，则m的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0B4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，则a2＋b2＝______.5 5．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？互动探究学案命题方向1 ?复数的概念B (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是____________.
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．『规律总结』 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．〔跟踪练习1〕
给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确的说法的序号是______.③ [解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．命题方向2 ?复数的分类『规律方法』 1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的．
2．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．〔跟踪练习2〕
实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
[解析] 设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.
(1)要使z为实数，必须有
m2－3m＝0，
得m＝0或m＝3，
故m＝0或m＝3时，z为实数．命题方向3 ?复数相等『规律方法』 复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解．〔跟踪练习3〕
已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，
求实数x、y的值．准确掌握概念 A [错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；
设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)
∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．
若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．
综上可知：①②③都正确，故选D．
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚数．[正解] A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；
设z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②是错误的，③当a＝b≠0时，a－b＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，a－b＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A．〔跟踪练习4〕
实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数．(2)实数．根据复数的大小求参数的值 『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．C A B 1或－3 5．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，求x，y的值．课 时 作 业 学 案第四章 §1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数z＝－2＋i，则复数z在复平面内对应的点位于( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 复数z在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．
2．若＝(1，－2)，则对应的复数为( C )
A．－1 B．－2i
C．1－2i D．1＋2i
[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.
3．复数z＝1＋(2－sinθ)i在复平面内对应的点所在的象限为( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵1>0,2－sinθ>0，
∴复数对应的点在第一象限．
4．复数z与它的模相等的充要条件是( D )
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
[解析] ∵z＝|z|，∴z为实数且z≥0.
5．已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部( B )
A．不小于0 B．不大于0
C．大于0 D．小于0
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋bi＝－，∴b＝0，a＝－|a|，∴a≤0，故不大于0.
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为( B )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[解析] |z|＝＝＝＝2|cos|.
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴2|cos|＝－2cos，故选B．
二、填空题
7．设复数z＝1＋2i，则|z|＝__ .
[解析] |z|＝＝.
8．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是__(1,2)__.
[解析] 由已知，得，
解得1三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得，
解得m＜或m＞，
即实数m的取值范围是m＜或m＞.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是( A )
A．－C．x>－ D．x<－或x>2
[解析] 由条件知，(x－1)2＋(2x－1)2<10，
∴5x2－6x－8<0，∴－2．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于( D )
A． B．2
C．4 D．
[解析] 由于OABC是平行四边形，故＝，
因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D．
3．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( D )
A．1 B．2
C． D．3
[解析] |z|＝2，复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z－i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.
4．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0.∴复数z对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．
二、填空题
5．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x O＋y O(x、y∈R)，则x＋y的值是__5__.
[解析] 由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，即
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.
由复数相等可得
，解得.∴x＋y＝5.
6．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为__ .
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
7．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝__12__.
[解析] 由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
8．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解析] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)．
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
9．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[解析] 解法一：|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.
这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此，满足条件的点Z的集合是以原点O为原点，以5为半径的圆．
解法二：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
课件43张PPT。第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充和复数的引入第2课时 复数的几何意义自主预习学案大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图像表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对应实部a的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型——平面内的点．以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型——平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整地建立起来了。1．复平面与复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作________，y轴叫作________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数的几何意义
①每一个复数都由它的________和________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是____________关系．实轴 虚轴 原点 实部 虚部 一一对应 ②若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是______________，不是(a，bi)．
③复数与复平面内________________的向量也可以建立一一对应关系．
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点________________或向量______表示．(a，b) 以原点为始点 Z(a，b) 1．复平面的几个注意点
(1)直角坐标平面可表示复平面，形式上不做改变，要注意纵轴仍然是用y表示，不要认为是yi.
(2)复平面内的点与复数的关系B1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R D．a＞0，b∈R
[解析] 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．D3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为__________.
A．1或3 B．1
C．3 D．21或3 互动探究学案命题方向1 ?复数的几何意义
[思路分析] 把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数m的值，即得复数z.
[解析] (1)若复数z对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m－8＝0且m2－3m＋2≠0，
∴m＝－4，此时z＝30i.『规律方法』 1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，能更好地理解复数的相关知识．
2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．〔跟踪练习1〕
(2019·北京昌平区新学道临川中学月考)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．C命题方向2 ?复数与复平面内向量的对应
〔跟踪练习2〕
(2019·广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i.
(1)求点D对应的复数；
(2)求△ABC的边BC上的高．命题方向3 ?复数模的计算『规律方法』 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小．D 准确掌握复数模的几何意义 A [错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.
[正解] A 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．〔跟踪练习4〕
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x和y的值．复数与其他知识的综合问题 『规律方法』 利用复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题来解决．在解题过程中要注意的是：一般由一个复数等式可转化为一个实数方程组，所求出的解要同时满足每一个方程．1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 复数z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，故选C．C2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0CC C 课 时 作 业 学 案
