第二章 2.3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( C )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
[解析] ∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴动点P的轨迹是一条射线．
2．(2018·浙江，2)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( B )
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
[解析] ∵双曲线方程为－y2＝1，
∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝＝＝2，
即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
故选B．
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( A )
A．－1
0
C．k≥0 D．k>1或k<－1
[解析] 由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－14．已知双曲线2mx2－my＝4的一个焦点为(0，)，则m的值为( B )
A．1 B．－1
C． D．－
[解析] 将双曲线方程化为－＝1.因为一个焦点是(0，)，所以焦点在y轴上，所以c＝，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝6.所以m＝－1.
5．双曲线－＝1的焦距为( D )
A．3 B．4
C．3 D．4
[解析] 由双曲线的标准方程，知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4，故选D．
6．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( B )
A．11 B．9
C．5 D．3
[解析] 由题，＝2a＝6，
即＝2a＝6，解得|PF2|＝9.
二、填空题
7．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于__48__.
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16.
∴S△PF1F2＝×16×＝48.
8．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为__2或22__.
[解析] 设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；
当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)求与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线的方程．
(2)过P(3，)和Q(－，5)两点．
[解析] (1)由题知c2＝4－1＝3，∴c＝，∵焦点在x轴上，
∴可设双曲线的方程为－＝1(0又双曲线过点Q(2,1)，
∴－＝1?a2＝2，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得
，解之得.
∴所求双曲线方程为－＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( B )
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[解析] 由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，
∴－＝1，又a2＋b2＝5，∴，故选B．
2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D．
3．(2019·安徽省蚌埠市高二期末)双曲线－＝1(a>0，b>0)右焦点为F，点A在双曲线的右支上，以AF为直径的圆M与圆x2＋y2＝a2的位置关系是( B )
A．相交 B．外切
C．相离 D．内切
[解析] 设F′为左焦点，则AF′－AF＝2a，从而圆心O到AF中点M距离为a＋，所以以AF为直径的圆M与圆x2＋y2＝a2的位置关系是外切，选B．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( D )
A．16 B．18
C．21 D．26
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
二、填空题
5．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为 －＝1 .
[解析] 解法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.
解法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1.
6．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于__4__.
[解析] 在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.
三、解答题
7．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值．
[解析] 由题意知c＝3，若焦点在x轴上，
则方程可化为－＝1，∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1.
∴－k＋(－)＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
8．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线如何变化？
[解析] (1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．
课件51张PPT。第二章圆锥曲线与方程§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程自主预习学案
1．双曲线的定义
类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义
在平面内到两个定点F1、F2距离之__________的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的__________，两焦点之间的距离叫作双曲线的__________.差 焦点 焦距 1．定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”．
(1)在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是不存在．
(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．
2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效地避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．1．平面内，到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线DA 3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线D互动探究学案命题方向1 ?双曲线定义的应用典例 1 『规律方法』 利用双曲线定义解题时应注意：(1)动点P是在双曲线一支上，还是两支上．(2)常数2a小于|F1F2|.33 命题方向2 ?待定系数法求双曲线的标准方程典例 2
2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n<0.命题方向3 ?双曲线的焦点三角形问题典例 3 『规律方法』 双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意． 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路分析] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．分类讨论思想的应用 典例 4 『规律方法』 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．注意参数取值范围对解题的影响典例 5 C C D 课时作业学案