北师大版数学选修1-1 2.3.2 双曲线的简单性质72张PPT

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名称 北师大版数学选修1-1 2.3.2 双曲线的简单性质72张PPT
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-11-23 11:59:43

文档简介

第二章 2.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1.以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为( C )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.
2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( C )
A.2     B.2  
C.4     D.4
[解析] 双曲线2x2-y2=8化为标准形式为-=1,∴a=2,∴实轴长为2a=4.
3.(2017·全国Ⅱ文,5)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( C )
A.(,+∞) B.(,2 )
C.(1,) D.(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,
∴14.椭圆+=1和双曲线-=1有共同的焦点,则实数n的值是( B )
A.±5 B.±3
C.25 D.9
[解析] 依题意,34-n2=n2+16,解得n=±3,故答案为B.
5.(2018·全国Ⅲ文,10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
A. B.2
C. D.2
[解析] 由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2,故选D.
6.(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( A )
A.      B.
C.2 D.3
[解析] 双曲线-=1的右焦点坐标为(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由于|PO|=|PF|,则点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,所以它的面积为××=.故选A.
二、填空题
7.双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=__5__.
[解析] ∵双曲线的标准方程-=1(a>0),
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y=x,
∴a=5.
8.(2019·江苏卷,7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 y=±x .
[解析] 因为双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),所以9-=1(b>0),解得b=,即双曲线方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±x.
三、解答题
9.(1)求与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=的双曲线的方程;
(2)求虚轴长为12,离心率为的双曲线的标准方程.
[解析] (1)设双曲线的方程为-=1(4<λ<9),则a2=9-λ,b2=λ-4,
∴c2=a2+b2=5,
∵e=,∴e2===,解得λ=5,
∴所求双曲线的方程为-y2=1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,所以可设双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0).
由题设知2b=12,=且c2=a2+b2,
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
B级 素养提升
一、选择题
1.已知方程ax2-ay2=b,且a、b异号,则方程表示( D )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程变形为-=1,由a、b异号知<0,故方程表示焦点在y轴上的双曲线,故答案为D.
2.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1、F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( A )
A.(-,) B.(-,)
C.(-,) D.(-,)
[解析] 由双曲线方程可知F1(-,0)、F2(,0),
∵·<0,
∴(--x0)(-x0)+(-y0)(-y0)<0,
即x+y-3<0,∴2+2y+y-3<0,y<,
∴-3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-)2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心率为( B )
A. B.2
C. D.
[解析] 双曲线的渐近线方程为y=±x,
由题意得=1,∴b=a.
∴离心率e=====2.
4.(2019·河南洛阳市高二期末)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过左焦点F的直线切圆x2+y2=a2于点P,交双曲线C右支于点Q,若=,则双曲线C的渐近线方程为( B )
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±x D.y=±x
[解析] ∵过双曲线C:-=1(a>0,b>0),
左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为P,
∴|OP|=a,
设双曲线的右焦点为F′,
∵P为线段FQ的中点,
∴|QF′|=2a,|QF|=2b,
由双曲线的定义知:2b-2a=2a,
∴b=2a.
∴双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,
即2ax±ay=0,
∴2x±y=0.
故选B.
二、填空题
5.已知双曲线-=1的一个焦点在圆x2+y2-4x-5=0上,则双曲线的渐近线方程为 y=±x .
[解析] ∵方程表示双曲线,∴m>0,∵a2=9,b2=m,
∴c2=a2+b2=9+m,∴c=,
∵双曲线的一个焦点在圆上,∴是方程x2-4x-5=0的根,∴=5,∴m=16,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
6.(2018·江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为__2__.
[解析] 双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,焦点F(c,0)到渐近线的距离d==b.∴b=c,∴a==c,∴e==2.
三、解答题
7.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0)、F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),
所以-=1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0.
所以c2=25.②
又c2=a2+b2,③
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).
所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
8.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程;
(1)过点P(3,-),离心率e=;
(2)F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12,且离心率为2.
[解析] (1)若双曲线的实轴在x轴上,
设-=1为所求.
由e=,得=. ①
由点P(3,-)在双曲线上,得-=1. ②
又a2+b2=c2,由①②得a2=1,b2=.
若双曲线的实轴在y轴上,设-=1为所求.
同理有=,-=1,a2+b2=c2.
解之,得b2=-(不符,舍去).
故所求双曲线方程为x2-4y2=1.
(2)设双曲线方程为-=1,因|F1F2|=2c,
而e==2,由双曲线的定义,
得||PF1|-|PF2||=2a=c.
由余弦定理,得
(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos60°),
∴4c2=c2+|PF1||PF2|.
又S△PF1F2=|PF1||PF2|sin60°=12,
∴|PF1||PF2|=48.
∴3c2=48,c2=16,得a2=4,b2=12.
故所求双曲线的方程为-=1.
课件72张PPT。第二章圆锥曲线与方程§3 双曲线3.2 双曲线的简单性质自主预习学案
轴对称 中心对称 双曲线的中心 顶点  (±a,0)  实轴  2a  虚轴  2b  实半轴长  虚半轴长  离心率  (1,+∞)  大  双曲线的渐近线 x轴、y轴 (0,0) x轴、y轴 (0,0) 1.双曲线上两个重要的三角形
(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形,边长满足c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形.(3)如果一个双曲线的实轴长和虚轴长相等,那么这样的双曲线称为等轴双曲线.它的性质有:①标准方程为x2-y2=λ(λ≠0);②渐近线方程为y=±x;③渐近线互相垂直.这三条性质与等轴双曲线的定义之间是相互等价的.A A B C 互动探究学案 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.
[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程,求出a、b、c的值,然后依据各几何量的定义作答.命题方向1 ?根据双曲线方程研究其几何性质典例 1
〔跟踪练习1〕
(2019·山东菏泽月考)求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.命题方向2 ?利用几何性质求双曲线的标准方程典例 2
命题方向3 ?双曲线的离心率典例 3
A D 命题方向4 ?实际应用问题典例 4 『规律方法』 解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型,用数学知识解决,最后再回归到实际问题中.要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义.〔跟踪练习4〕
如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向距离B 2 km处,河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km.
求:(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程;
(2)修建这两条公路的总费用的最小值.命题方向5 ?直线与双曲线的位置关系典例 5  双曲线中的中点弦问题 已知双曲线方程为2x2-y2=2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1,P2两点,当点P(2,1)是弦P1P2的中点时,求此直线方程.
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l,使直线l与此双曲线相交于Q1,Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.典例 6 『规律方法』 (1)设出直线方程与双曲线方程联立,应用根与系数的关系求解;(2)首先假设符合条件的直线存在,抓住中点这一条件求解;(3)有关中点弦问题,应用点差法往往比较简单,但注意验证直线是否满足条件.〔跟踪练习5〕
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0),直线3x-2y=0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点(0,1),倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.注意双曲线的焦点位置 典例 7 C C A 4 5.求双曲线y2-2x2=1的离心率和渐近线方程.课时作业学案
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