第二章 2.3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．以上都不对
[解析] 当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )
A．2 B．2
C．4 D．4
[解析] 双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( C )
A．(，＋∞) B．(，2 )
C．(1，) D．(1,2)
[解析] 由题意得双曲线的离心率e＝.
∴e2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，
∴14．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是( B )
A．±5 B．±3
C．25 D．9
[解析] 依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．
5．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )
A． B．2
C． D．2
[解析] 由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，故选D．
6．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( A )
A． B．
C．2 D．3
[解析] 双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A．
二、填空题
7．双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝__5__.
[解析] ∵双曲线的标准方程－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝5.
8．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 y＝±x .
[解析] 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．
[解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( D )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．
2．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( A )
A．(－，) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
[解析] 由双曲线方程可知F1(－，0)、F2(，0)，
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，
即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，
∴－3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－)2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( B )
A． B．2
C． D．
[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝1，∴b＝a.
∴离心率e＝＝＝＝＝2.
4．(2019·河南洛阳市高二期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F的直线切圆x2＋y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为( B )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] ∵过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，
左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为P，
∴|OP|＝a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵P为线段FQ的中点，
∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，
由双曲线的定义知：2b－2a＝2a，
∴b＝2a.
∴双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，
即2ax±ay＝0，
∴2x±y＝0.
故选B．
二、填空题
5．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x .
[解析] ∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．(2018·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0) 到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为__2__.
[解析] 双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.
三、解答题
7．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
[解析] 因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
8．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程；
(1)过点P(3，－)，离心率e＝；
(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，且离心率为2.
[解析] (1)若双曲线的实轴在x轴上，
设－＝1为所求．
由e＝，得＝. ①
由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1. ②
又a2＋b2＝c2，由①②得a2＝1，b2＝.
若双曲线的实轴在y轴上，设－＝1为所求．
同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2.
解之，得b2＝－(不符，舍去)．
故所求双曲线方程为x2－4y2＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，
而e＝＝2，由双曲线的定义，
得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1||PF2|.
又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝12，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的方程为－＝1.
课件72张PPT。第二章圆锥曲线与方程§3 双曲线3.2 双曲线的简单性质自主预习学案
轴对称 中心对称 双曲线的中心 顶点 (±a,0) 实轴 2a 虚轴 2b 实半轴长 虚半轴长 离心率 (1，＋∞) 大 双曲线的渐近线 x轴、y轴 (0,0) x轴、y轴 (0,0) 1．双曲线上两个重要的三角形
(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．(3)如果一个双曲线的实轴长和虚轴长相等，那么这样的双曲线称为等轴双曲线．它的性质有：①标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为y＝±x；③渐近线互相垂直．这三条性质与等轴双曲线的定义之间是相互等价的．A A B C 互动探究学案 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作答．命题方向1 ?根据双曲线方程研究其几何性质典例 1
〔跟踪练习1〕
(2019·山东菏泽月考)求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．命题方向2 ?利用几何性质求双曲线的标准方程典例 2
命题方向3 ?双曲线的离心率典例 3
A D 命题方向4 ?实际应用问题典例 4 『规律方法』 解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中．要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义．〔跟踪练习4〕
如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向距离B 2 km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km.
求：(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程；
(2)修建这两条公路的总费用的最小值．命题方向5 ?直线与双曲线的位置关系典例 5 双曲线中的中点弦问题 已知双曲线方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使直线l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．典例 6 『规律方法』 (1)设出直线方程与双曲线方程联立，应用根与系数的关系求解；(2)首先假设符合条件的直线存在，抓住中点这一条件求解；(3)有关中点弦问题，应用点差法往往比较简单，但注意验证直线是否满足条件．〔跟踪练习5〕
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．注意双曲线的焦点位置 典例 7 C C A 4 5．求双曲线y2－2x2＝1的离心率和渐近线方程．课时作业学案
