北师大版数学选修1-1 4.1.1 导数与函数的单调性54张PPT

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名称 北师大版数学选修1-1 4.1.1 导数与函数的单调性54张PPT
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-11-23 12:00:49

文档简介

第四章 4.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是( B )
A.(-∞,0) B.(0,2)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
[解析] f ′(x)=3x2-6x,令f ′(x)=3x2-6x<0,解得02.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上( A )
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上减
D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增
[解析] f ′(x)=2-cosx>0在(-∞,+∞)上恒成立.
3.(2019·江西抚州高二检测)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( C )
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.[,+∞) D.(-∞,)
[解析] y′=3x2+2x+m,由题意知3x2+2x+m≥0在R上恒成立,∴Δ=4-12m≤0,∴m≥.
4.设f ′(x)是函数f(x)的导函数,y=f ′(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能的是( C )
[解析] 由f ′(x)的图像知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数.
只有C符合题意,故选C.
5.函数y=xln x在(0,5)上的单调性是( C )
A.单调递增
B.单调递减
C.在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增
D.在(0,)上单调递增,在(,5)上单调递减
[解析] 函数的定义域为(0,+∞).
∵y′=ln x+1,令y′>0,得x>.
令y′<0,得0∴函数y=xln x在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( D )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
[解析] 由条件知f ′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键.
二、填空题
7.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为 (-∞,-),(1,+∞) .
[解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
∴由y′>0得,x>1或x<-.
8.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),则b=__-3__,c=__-9__.
[解析] f ′(x)=3x2+2bx+c,
由条件知,即,
解得b=-3,c=-9.
三、解答题
9.设函数f(x)=x3+mx2+1的导函数f ′(x),且 f ′(1)=3.
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解析] (1)f ′(x)=x2+2mx,
∴f ′(1)=1+2m=3,∴m=1.
∴f(x)=x3+x2+1,∴f(1)=.
∴切线方程为y-=3(x-1),
即9x-3y-2=0.
(2)f ′(x)=x2+2x=x(x+2),
令f ′(x)>0,得x>0或x<-2,
令f ′(x)<0,得-2∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(0,+∞),递减区间为(-2,0).
B级 素养提升
一、选择题
1.函数y=f(x)的图像如图所示,则y=f ′(x)的图像可能是( D )
[解析] 由f(x)的图像知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f ′(x)≤0,在(-∞,0)上f ′(x)≥0,故选D.
2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( C )
A.y=2-3x2 B.y=ln x
C.y= D.y=sin x
[解析] A中,y′=-6x,当-10,当00对x∈(-1,1)恒成立,∴函数y=sin x在(-1,1)上是增函数.
3.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0,有f ′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时,有( B )
A.f ′(x)>0,g′(x)>0 B.f ′(x)>0,g′(x)<0
C.f ′(x)<0′,g′(x)>0 D.f ′(x)<0,g′(x)<0
[解析] 由已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.∵x>0时,f ′(x)>0,g′(x)>0,
∴f(x),g(x)在(0,+∞)上递增.
∴x<0时,f(x)递增,g(x)递减.
∴x<0时f ′(x)>0,g′(x)<0.
4.若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有
零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是( D )
A.(-2,0) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-2)
[解析] 由题意知,f ′(x)=1-,
∵函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,
∴当1-=0时,b=x2,
又x∈(1,2),∴b∈(1,4),
令f ′(x)>0,解得x<-或x>,
即f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),
∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意.故选D.
二、填空题
5.函数f(x)=x-2sin x在(0,π)上的单调递增区间为 (,π) .
[解析] 由f ′(x)=1-2cos x>0得cos x<,又x∈(0,π),所以6.已知函数f(x)=在(-2,+∞)上单调递减,则a的取值范围是 (-∞,) .
[解析] f ′(x)==,
由题意得x<-2时,f ′(x)≤0恒成立,
∴2a-1≤0,∴a≤.
又当a=时,f(x)==,
此时,函数f(x)在(-2,+∞)上不是减函数,∴a≠.
综上可知,a的取值范围为(-∞,).
三、解答题
7.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析] (1)f ′(x)=3x2-6ax+3b.
因为f(x)的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f ′(1)=-12,
即,解得a=1,b=-3.
(2)由a=1,b=-3得f ′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).
令f ′(x)>0,解得x<-1或x>3;
又令f ′(x)<0,解得-1故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;
当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
8.(2018·全国Ⅱ文,21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)只有一个零点.
[解析] (1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f ′(x)=x2-6x-3.
令f ′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.
当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(3-2,3+2)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.
(2)证明:因为x2+x+1>0,
所以f(x)=0等价于-3a=0.
设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,
仅当x=0时g′(x)=0,
所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a-1)=-6a2+2a-=-62-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
课件54张PPT。第四章导数应用在一个古老的大家族里,族长是位老者名叫函数,领着他的众多子孙如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数快乐地生活着,日复一日、年复一年,突然有一天,他的子孙发生了变异,出现了高次函数和一些复合函数,老者无法认清它们的真面目,视为“怪胎”,就派人出去请了一位能人名叫导数,导数对着“怪胎”一求导,“怪胎”接着现了原型,老者很高兴,邀请导数加入他的家族,从此导数帮助老者解决了很多难题. 老者了解到导数擅长作画,就聘请他作画师,给每位新出现的函数画像.这则故事说明了导数的功能:解决高次函数问题、解决函数图像问题.17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨站在巨人的肩膀上,凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力,各自独立地创立了微积分.导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具,因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率,以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性自主预习学案
负 正 正 递增 递减 2.函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较__________,其图像比较__________.快 陡峭 利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题:
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.
(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内不连续点和不可导点.C 2.函数y=x3+x的单调递增区间为(  )
A.(0,+∞)      B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)
[解析] ∵y′=3x2+1>0恒成立,∴函数y=x3+x在(-∞,+∞)上是增函数,故选D.DC 4.若在区间(a,b)内有f ′(x)>0,且f(a) ≥0,则在(a,b)内有(  )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.不能确定
[解析] ∵在区间(a,b)内有f ′(x)>0,且f(a)≥0,
∴函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,∴f(x)>f(a)≥0.A互动探究学案 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x3-2x2+x+1;
(2)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x≤2π).
[思路分析] 由于函数的单调性与函数导数的符号有关,因此,可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.命题方向1 ?利用导数求函数的单调区间典例 1 『规律方法』 1.函数的单调区间是定义域的子集,利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间,必须先考虑函数的定义域,写函数的单调区间时,一定要注意函数的不连续点和不可导点.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f ′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0;
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.〔跟踪练习1〕
函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  )
A.(-∞,2)      B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
[解析] ∵f(x)=(x-3)ex,
∴f ′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
由f ′(x)>0得x>2,
∴选D.D命题方向2 ?已知函数的单调性,确定参数的取值范围典例 2 解法二:(转化为不等式恒成立的问题)
f ′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立.即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1,因为2又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f ′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,
所以a≤x+1,因为x+1>7,所以a≤7时,f ′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.
综上知5≤a≤7.『规律方法』 1.已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时,一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解,有时也用数形结合方法求解.
2.y=f(x)在(a,b)内可导,f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y=f(x)在(a,b)内导数为0的点仅有有限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数,例如:y=x3在R上f ′(x)≥0,所以y=x3在R上单调递增.〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在(-∞,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围. (1)已知f ′(x)是f(x)的导函数,若f ′(x)的图像如图所示,则f(x)的图像可能是(  )命题方向3 ?函数与其导函数图像间的关系D典例 3 (2)(2019·贵州贵阳高二月考)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图像如图所示,则导函数f ′(x)的图像可能为(  )D[思路分析] (1)由导函数的图像,应着重看它的区间上的正负,从而判断原函数的增减,由导函数的变化的大小,判断原函数增减的快慢.(2)已知原函数的图像,应着重看它在哪些区间上递增,哪些区间上递减,以此判断导函数的情形.(2)由图像可知,y=f(x)在x<0时是增函数,因此其导函数在x<0时,有f ′(x)>0(即全部在x轴上方),因此排除A、C,从原函数图像上可以看出在区间(0,x1)上原函数是增函数, f ′(x)>0;在区间(x1,x2)上原函数是减函数,f ′(x)<0;在区间(x2,+∞)上原函数是增函数, f ′(x)>0,因此排除B,故选D.『规律方法』 解决函数与其导函数的图像关系问题时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图像在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.〔跟踪练习3〕
如果函数y=f(x)的图像如图所示,那么导函数y=f ′(x)的图像可能是(  )A[解析] 本题有多种解法,如可以利用函数的单调性的图像特征进行选择.设y轴右侧最高点的横坐标为x1,由题图可知,函数在(x1,+∞)内是减少的,∴f ′(x)<0,因此A符合题意. 已知x>1,求证:x>lnx.命题方向4 ?转化思想的应用——构造法证明不等式典例 4 『规律方法』 构造函数,利用导数确定函数单调性,把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题,实现了复杂问题简单化.构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法.当给定的函数有字母参数时,求单调区间一般需要分类讨论,不同的化归方法和运算顺序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性和全面性.一般来说,此类问题可归结为解含参数的一元二次不等式,要注意对参数讨论,其讨论标准为:
①对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论;
②当二次项系数不为零时,再对判别式进行大于零、小于零、等于零分类讨论;
③当判别式大于零时,再对两根的大小进行讨论.
另外,有时也根据f ′(x)>0与f ′(x)<0的解集与定义域交集形式的不同展开讨论.含参数的函数的单调性与单调区间问题 已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x,讨论f(x)的单调性.典例 5 『规律方法』 用导数研究函数的单调性时,往往易忽略函数的定义域,造成所求的单调区间不正确.因此一定要牢记在函数定义域范围内研究函数的性质.(-1,3)  ∴函数解析式为f(x)=x3-3x2-9x,
f ′(x)=3x2-6x-9.
令f ′(x)=3x2-6x-9<0,解得-1∴f(x)的单调递减区间是(-1,3).
故答案为(-1,3).研究函数一定要注意函数的定义域 典例 6 B A A (-∞,-2),(2,+∞) 课时作业学案
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