第四章 4.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( A )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
[解析] ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，
则x，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
－
＋
y
?
c＋2
?
c－2
?
因此，当函数图像与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( D )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[解析] f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)>0得x<－2或x>2，令f ′(x)<0得－2
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
∴当x＝2时， f(x)取极小值，即2是函数f(x)的极小值点，故a＝2.
3．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像，给出下列命题：
①x＝－3是函数y＝f(x)的极值点；
②x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率小于零；
④函数y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．
其中，正确命题的序号是( B )
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
[解析] f ′(－3)＝0，且在x＝－3的两侧，导函数由负到正，所以x＝－3为f(x)的极小值点．当x∈(－3，－1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以①④正确．
4．设函数f(x)＝＋ln x，则( D )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．
f ′(x)＝－＋＝(1－)，
由f ′(x)＝0可得x＝2.
当02时，
f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．
对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( D )
A．2 B．3
C．6 D．9
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f ′(1)＝0，
∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．
6．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( D )
A．[－3,6] B．(－3,6)
C．(－∞，－3]∪[6，＋∞) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则f ′(x)＝0有两个不同的根，所以判别式Δ>0，即Δ＝4m2－12(m＋6)>0，所以m2－3m－18>0，解得m>6或m<－3.
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是__－1__.
[解析] f ′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，
令f ′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为 y＝－ .
[解析] ∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y|x＝－1＝－，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.
三、解答题
9．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a、b、c的值；
(2)求函数的递减区间．
[解析] (1)因为函数的图像经过点(0,0)，
易得c＝0.
又图像与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b，
故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.
所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.
令y′＝0，解得x＝0或x＝－a，
即x＝0和x＝－a是极值点．
由图像知函数在x＝0处取极大值，
故在x＝－a时取极小值．
当x＝－a时，函数有极小值－4，
所以(－a)3＋a(－)2＝－4，
整理得a3＝－27，解得a＝－3.故a＝－3、b＝0、c＝0.
(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，
令y′<0，即y′＝3x2－6x<0，解得0所以，函数的递减区间是(0,2)．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
[解析] y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
∵－2∴令y′>0得－2∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．
2．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( B )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
[解析] y′＝6x2＋2ax＋36，
由已知得24＋4a＋36＝0，
∴a＝－15.
∴y′＝6x2－30x＋36
＝6(x2－5x＋6)＝6(x－2)(x－3)，
令y′>0，得x<2或x>3，故选B．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( A )
A．，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
4．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( C )
A．[－5,0) B．(－5,0)
C．[－3,0) D．(－3,0)
[解析] 由题意，f ′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图像如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图像可知，解得a∈[－3,0)，故选C．
二、填空题
5．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝ － .
[解析] f ′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得，∴a＝－.
6．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析] f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，
当x<－1，或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调增；
当－1∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图像有相异的三个公共点，应有－2三、解答题
7．设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a、b的值；
(2)判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意得，
解得.
(2)由(1)知f ′(x)＝3x2－6x－24
＝3(x2－2x－8)
＝3(x－4)(x＋2)，
令f ′(x)>0，得x<－2或x>4，
令f ′(x)<0，得－2∴f(x)在(－∞，－2)，(4，＋∞)上单调递增，在(－2,4)上单调递减，
∴当x＝－2时， f(x)取极大值，当x＝4时， f(x)取极小值，故x＝－2是极大值点，x＝4是极小值点．
8．(2018·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解析] (1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f ′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f ′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f ′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f ′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
课件55张PPT。第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.2 函数的极值自主预习学案
函数的极值与导数的关系(1)如图是函数y＝f(x)的图像，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递__________，f ′(x)__________0，右侧f(x)单调递__________,_f ′(x)__________0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f ′(a)__________0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有__________.
我们把点a叫作函数f(x)的极__________值点，f(a)是函数的一个极__________值；把点b叫作函数f(x)的极__________值点，f(b)是函数的一个极__________值．增 > 减 < ＝ (c,_f(c)) (d，f(d)) 大 大 小 小 (2)一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间(a，b)内的所有点x，如果都有_____________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个______________；如果都有__________，则称函数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数f(x)的一个__________.极大值与极小值统称为__________，极大值点与极小值点统称为__________.f(x)f(x0) 极小值 极小值点 极值 极值点 1．按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b.
2．极值是一个局部性概念，只要在一个小区域内成立即可，要注意极值必须在区间内的连续点取得，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．(如图)3．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． 1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．D2．下列说法正确的是( )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
[解析] 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A，B，D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.C3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个A5．已知k为实数， f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求y＝f(x)在区间[－2,2]上的极值．互动探究学案 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．命题方向1 ?利用导数求函数的极值典例 1 『规律方法』 1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值；
(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
2．利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
〔跟踪练习1〕
设函数f(x)＝x3＋ax2－9x的导函数为f ′(x)，且f ′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋2ax－9，
∵f ′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.
∴f(x)＝x3＋3x2－9x，
∴f ′(x)＝3x2＋6x－9，
∴f(0)＝0，f ′(0)＝－9，
∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x. 已知函数f(x)＝ax4·ln x＋bx4－c(x>0)．在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b为常数．
(1)试确定a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间．
[思路分析] 本题考查函数极值的逆向应用．(1)根据f(1)＝－3－c和f ′(1)＝0即可求解；(2)根据函数的导数和单调性的关系可解决．命题方向2 ?已知函数极值求参数典例 2 『规律方法』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间． 右图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像，对此图像，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是__________(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析] 给出了y＝f ′(x)的图像，应观察图像找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．命题方向3 ?图像信息问题③ 典例 3 『规律方法』 有关给出图像研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图像还是f ′(x)的图像，若给的是f(x)的图像，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图像，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．〔跟踪练习3〕
函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x1则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．C命题方向4 ?分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用典例 3 『规律方法』 利用导数求极值时，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值范围进行讨论(可从导数值为0的几个x值的大小入手)．其次，这类问题可以归结为求含参函数的单调性．单调性求出后，极值即可确定．〔跟踪练习4〕
(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求常数a，b的值．对于方程f(x)＝a的根的个数问题，我们可将问题转化为函数y＝f(x)与函数y＝a的图像的交点个数问题．在解决问题时，可遵循以下步骤：
第一步：利用导数判断函数y＝f(x)的单调性及极值等情况，综合各种信息画出函数y＝f(x)的大致图像；
第二步：研究函数y＝f(x)与y＝a的图像的交点个数；
第三步：根据交点个数写出方程根的情况．
如果方程f(x)＝0是三次方程，也可以按照如下步骤处理：利用函数极值研究方程根的个数第一步：求导数y＝f ′(x)，解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0，确定函数的单调性及极值的情况，进一步得到反映三次函数大致趋势的图；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)，主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式(组)即可．典例 5 〔跟踪练习5〕
(2019·全国Ⅱ卷文，21)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．注意极大值点与极小值点的区别典例 6 [正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5D2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f ′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件C－2 －19 课时作业学案