第四章 4.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( A )
A．14 B．4
C．10 D．6
[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.
所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那水瓶的形状是( B )
[解析] 在曲线上任取一个横坐标为h0的点，则注水量V在h0到h0＋Δh的平均变化率为，在h0处的导数为V′＝ .由图像可知，随着h0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变化率＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B．
3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( D )
A．－1
C．a>2 D．a<－1或a>2
[解析] f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函数有极大值和极小值，则f ′(x)＝0有两个不等实根，故Δ＝36a2－36×(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a<－1或a>2.
二、填空题
4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝ .
[解析] s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10，
则t＝.
三、解答题
5．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．
[解析] 在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．
∵f ′(x)＝2x－7.
∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.
在第2 h与第6 h，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约为5 ℃/h的速度上升．
B级 素养提升
一、选择题
1．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( D )
[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．
选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；
选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．
二、解答题
2．自由落体运动的方程为s＝gt2.
(1)求t从3s变到3.1s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(3)．
[解析] (1)Δs＝s(3.1)－s(3)
＝g×3.12－g×32＝0.305g，
Δt＝0.1，∴＝3.05g(m/s)．
它表示从t＝3s到t＝3.1s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m/s)．
(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)，它表示自由落体运动的物体在t＝3s时的瞬时速度为3g(m/s)．
3．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)＝500×0.834t.
(1)氡气的散发速度是多少？
(2)A′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？
[解析] (1)A′(t)＝500×0.834t×ln 0.834.
(2)A′(7)＝500×0.8347×ln 0.834≈－25.5，它表示7天后氡气散发的瞬时速度．
4．修建面积为x m2的草坪需要成本y元，且y是x的函数：y＝f(x)＝10x2＋x.
(1)求当x从50变到60时，成本y关于修建面积x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f ′(50)，并解释它的实际意义．
[解析] (1)当x从50变到60时，成本关于草坪面积x的平均变化率为
＝
＝1 101(元/m2)．
它表示在草坪面积从50 m2增加到60 m2的过程中，草坪面积每增加1 m2，成本平均增加1 101元．
(2)f ′(x)＝20x＋1，∴f ′(50)＝1 001(元/m2)．
f ′(50)表示当草坪面积为50 m2时，每增加1 m2，成本就要增加1 001元．
5．将1 kg铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量Q(单位：J)：Q(t)＝0.000 297t2＋0.440 9t.
(1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？
(2)求Q′(100)，并解释它的实际意义．
[解析] (1)当t从10变到20时，函数值Q关于t的平均变化率为＝0.449 8，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量0.449 8 J.
(2)Q′(t)＝0.000 594t＋0.440 9，则Q′(100)＝0.500 3，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.500 3 J.
6．一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥容器，若以n cm3/s的速度向容器里注水，求注水t s时水面上升的速率．
[解析] 设注水t s时，水面半径为x cm，水面高度为y cm，则有，
从而得到y关于t的函数关系式为：y＝·，
从而y′＝··，
故注水t秒时水面上升的速率为：
··(cm/s)．
7．一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－lnt.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义．
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t＝2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时刻电路的电流为11.5A．
课件31张PPT。第四章导数应用§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义自主预习学案导数来源于生活，服务于生活．实际生活中，有许多的词语与导数有关．如物理上的功率、线速度、加速度，还有生活中常听说的降水强度、边际成本等．这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的意义．1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为__________，它的单位是__________.
2．在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作__________，它是反映一次降雨__________的一个重要指标．
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导数称为__________，f ′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f ′(x0)个单位的成本．功率 瓦特 降雨强度 大小 边际成本 1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等于( )
A．－12 B．12
C．2 D．－7
[解析] s′＝－6t，∴s′(2)＝－12.A2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝f(t)表示，则f ′(10)表示( )
A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
C．10小时的平均降雨量 D．t＝10时的温度
[解析] f ′(t)表示t时刻的降雨强度，故选A．A3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( )
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率
[解析] W′(t)表示t时刻的功率．D(v0＋2a) 服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟 0.3mg/mL的速度增加 互动探究学案 设质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)当t＝2时的瞬时速度；
(3)当t＝2时的加速度．命题方向1 ?导数在物理中的意义典例 1 『规律方法』 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．〔跟踪练习1〕
某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t＋1，求函数s＝3t＋1在t＝2处的导数s′(2)，并解释它的实际意义．命题方向2 ?导数在生活中的应用典例 2 『规律方法』 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．〔跟踪练习2〕
一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：
(1)f ′(t)的符号是什么？为什么？
(2)f ′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65 ℃，你能画出函数在点t＝3 min时图像的大致形状吗？[解析] (1)f ′(t)是负数．因为f ′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f ′(t)为负数．
(2)f ′(3)＝－4表明在3 min附近时，温度约以4 ℃/min的速度下降，如图所示． 某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．命题方向3 ?导数在经济学中的应用典例 3 [解析] (1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润分别为
L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．
其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加 1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．
由此可得到：当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．
在经济学中，通常取Δx＝1，就认为Δx达到很小，故有f(x0＋Δx)－f(x0)≈f ′(x0)．在实际问题中，略去“近似”两字，就得到f(x)在x0处的边际值f ′(x0)的经济意义：即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时，函数f(x)的改变量．〔跟踪练习3〕
造船厂年最大造船量为20艘，造船x艘产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数c(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．求利润函数p(x)及边际利润函数Mp(x)(利润＝产值－成本)．
[解析] p(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N＋，1≤x≤20)，
Mp(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N＋，1≤x≤19)．1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f ′(x0)表示( )
A．自变量x＝x0时对应的函数值
B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率
C．函数值y在x＝x0时的平均变化率
D．无意义
[解析] 根据导数的几何意义知选B．B2．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )
A．t＝1s时的速度 B．t＝1s时的加速度
C．t＝1s时的位移 D．t＝1s时的平均速度
[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．B3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.则熄火后__________秒后火箭速度为零(g取10 m/s2)．10 课时作业学案