第四章 4.2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( A )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．
2．(2019·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于( C )
A．2 B．3
C．6 D．9
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.
3．函数f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)的最大值为( B )
A．18 B．2
C．0 D．－18
[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1，－≤x<－1时，f ′(x)<0，－1
0,1∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝－18，
∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.
4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为( D )
A．2 B．4
C．18 D．20
[解析] f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
f(0)＝－a, f(1)＝－2－a, f(3)＝18－a，
∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，
∴18－a－(－2－a)＝20.
5．下列说法正确的是( D )
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．
6．(2018·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
二、填空题
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是__[0，e]__.
[解析] f ′(x)＝＝，
令f ′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
f(－1)＝e, f(0)＝0, f(1)＝，
∴f(x)max＝e, f(x)min＝0，
故函数f(x)的值域为[0，e]．
8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__.
[解析] f ′(x)＝3－3x2，令f ′(x)＝0，得x＝±1.
f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.
又f(－)＝a，f(3)＝－18＋a.
∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值．
(1)求a的值；
(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－4ax＋3a，
由题意得f ′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴a＝3.
经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．
(2)由(1)知， f(x)＝x3－6x2＋9x，
∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，
∴k≥f(x)max即可．
f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)
＝3(x－1)(x－3)，
令f ′(x)>0，得3令f ′(x)<0，得1∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，
∴当x＝1时， f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时， f(x)取极小值f(3)＝0.
又f(0)＝0，f(4)＝4，∴f(x)max＝4，∴k≥4.
B级 素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( A )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上图像连续不断且f ′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
[解析] 令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f ′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为单调减少的，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
3．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中正确的命题个数是( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．
4．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为( D )
A．15 B．16
C．17 D．18
[解析] x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f ′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D．
二、填空题
5．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__－10__.
[解析] f ′(x)＝6x2－6x－12，令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f ′(x)
－12
－
0
＋
24
f(x)
5
?
－15
?
－4
由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，
所以f(x)max＋f(x)min＝－10.
6．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝ .
[解析] f ′(x)＝4ax3－12ax2.
令f ′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.
10，故x＝3为极小值点．
∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，
∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b.
∴解得∴a＋b＝.
三、解答题
7．设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
[解析] (1)解：f ′(x)＝(1－2x－x2)ex.
令f ′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f ′(x)<0；
当x∈(－1－，－1＋)时，f ′(x)>0；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f ′(x)<0.
所以f(x) 在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－，－1＋)单调递增．
(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.
当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，
则h′(x)＝－xex<0(x>0)，
因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．
而h(0)＝1，故h(x)≤1，
所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
当0则g′(x)＝ex－1>0(x>0)，
所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．
而g(0)＝0，故ex≥x＋1.
当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，
取x0＝，
则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，
故f(x0)>ax0＋1.
当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
8．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
[解析] (1)由题意f ′(x)＝x2－ax，
所以当a＝2时，f(3)＝0，f ′(x)＝x2－2x，所以f ′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，
所以g′(x)＝f ′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x
＝x(x－a)－(x－a)sin x
＝(x－a)(x－sin x)．
令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；
当x<0时，h(x)<0.
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以当x＝a时，g(x)取到极大值，
极大值是g(a)＝－a3－sin a；
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．
③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，
极小值是g(a)＝－a3－sin a.
综上所述：
当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin a.
课件46张PPT。第四章导数应用§2 导数在实际问题中的应用2.2 最大值、最小值问题第1课时 函数的最大值与最小值自主预习学案
1．函数最值的概念
(1)下图中的函数f(x)的最大值为__________，最小值为__________.
而极大值为__________，极小值为__________.f(g) f(b) f(d)，f(g) f(c)，f(e) (2)由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得__________与__________，若该函数在(a，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．最大值 最小值 可导的 1．函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值．
2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有很多，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．A B 3．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下面结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在此区间上可能没有极值点
D．f(x)在此区间上可能没有最值点
[解析] 若f(x)在[a，b]上单调，则无极值点，但无论单调与否都会有最值点．C4．函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值为__________.
[解析] y′＝4x3－4x，令y′＝0，即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，又f(－2)＝13，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(2)＝13，故最大值为13.13 5．求下列函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．(2)f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3.
∵f ′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时， f(x)最小值＝－12；x＝1时， f(x)最大值＝2，
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.互动探究学案命题方向1 ?利用导数求函数的最大值与最小值典例 1
3．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．〔跟踪练习1〕
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值． 已知函数f(x)＝ax3＋3x＋2(a∈R)的一个极值点是1.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．命题方向2 ?含参数的函数最值问题典例 2 『规律方法』 已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．〔跟踪练习2〕
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值．又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时， f(x)取最小值，∴－16a＋3＝－29，
∴a＝2.函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助导数求值．函数最值的综合应用 典例 3 『规律方法』 对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．用导数求最值时，注意极值与端点值的比较典例 4 1．函数f(x)＝x2－3x(|x|<2)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值CA C 4．如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
[解析] 由导函数y＝f ′(x)的图像知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C．C5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值．课时作业学案第四章 4.2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( A )
[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图像下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图像上凸，故选A．
2．(2019·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( C )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
[解析] 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·()(0A．30 B．40
C．50 D．35
[解析] V′(x)＝(30x2－)′＝60x－x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.
∴当x＝40时，箱子的容积有最大值．
4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为( D )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
[解析] 设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( A )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[解析] 设利润为y(万元)，则
y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得06，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( C )
A． B．
C． D．2
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，
S′表＝x－，令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
二、填空题
7．某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__ t.
[解析] 设该公司一年内总共购买n次货物，
则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f ′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时， f(x)最小．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__.
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
三、解答题
9．有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
[解析] 如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x km.
因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x.
所以BC＝＝.
又设总的水管费用为y元，则
y＝3a(50－x)＋5a(0所以y′＝－3a＋ .
令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0.
所以当x＝30时，取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，
即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
B级 素养提升
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，该公司年产量为( D )
A．150 B．200
C．250 D．300
[解析] 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x≤300时，P′(x)>0；当3002．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为( C )
A．4 B．8
C． D．
[解析] V＝×·y＝＝＝(0令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
3．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( B )
A．16 m,16 m B．32 m,16 m
C．32 m,8 m D．16 m,8 m
[解析] 如图所示，设场地一边长为x m，
则另一边长为 m.
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴x＝16必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
4．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是( C )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
[解析] y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t<8时，y′>0；当8二、填空题
5．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为__4__时最省料．
[解析] 设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝＝4时S取得最小值．
6．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为__20__km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．
[解析] 设船速为每小时x(x＞0)千米，燃料费为Q元，则Q＝kx3，
由已知得：6＝k·103，∴k＝，即Q＝x3.
记行驶每千米的费用总和为y元，则
y＝(x3＋96)·＝x2＋
y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，
解之得：x＝20.
这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．
三、解答题
7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
[解析] 设该厂生产x件这种产品利润为L(x)
则L(x)＝500x－2 500－C(x)＝500x－2 500－
＝300x－x3－2 500(x∈N)，
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)．
又当0≤x<60时，L′(x)>0，
x>60时，L′(x)<0，
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．
答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．
8．(2019·广东佛山检测)如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
[解析] (1)依题意，建立以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x2＋＝1，且x>0，y>0，
∴y＝2(0∴S＝(2x＋2)·2＝2(x＋1)(0(2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0则f ′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．
令f ′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)．
当00, f(x)为增函数；
当∴f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f()＝，此时S＝.
故当x＝时，S取得最大值.
课件59张PPT。第四章导数应用§2 导数在实际问题中的应用2.2 最大值、最小值问题第2课时 生活中的优化问题举例自主预习学案
优化问题
1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题通常通称为__________.
2．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．
3．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是__________.优化问题 自变量 最值 根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0，且该函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值．1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )
A．3 B．4
C．5 D．6CC 互动探究学案命题方向1 ?利润最大问题典例 1 (1)求m的值；
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)
[思路分析] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x－2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．『规律方法』 利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．命题方向2 ?费用(用料)最省问题典例 2 『规律方法』 本题属于费用最低问题，此种类型的题目解决的关键是正确地理解题意列出函数的解析式，利用导数求其最值时，要注意函数的定义域的限制．〔跟踪练习2〕某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)? 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？命题方向3 ?面积、容积最大问题典例 3 『规律方法』 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．〔跟踪练习3〕
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解决生活中的优化问题应注意以下几点：
(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式．
(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域，忽视定义域易造成错解．
(3)在实际问题中，由f ′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大(小)值．解决优化问题的注意事项 (4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去，例如：长度、宽度、销售价格应为正数．
(5)对实际应用问题能够进行数学建模，但在问题解决的过程中，如果含有字母参数，那么要注意分类讨论．在分类讨论的过程中，如果在定义域内f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，那么可以直接根据单调性求最值．如果在定义域内f ′(x)＝0有解，那么在极值点或端点处可取最值．如果采用换元法，那么要注意新变量的取值范围． 从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁去一小块边长为x的正方形(如图)，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t，那么x取何值时，容积V有最大值？典例 4 『规律方法』 解决优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规则法、配方法、数形结合法和单调性法等．不少优化问题可以化为求函数的最值问题，导数方法是解决这类问题的有效方法． 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系典例 5 A 2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
[解析] 设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．BD 4．已知A，B两地相距200 km，一只船从A地逆水到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8