第三章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是( C )
A．0 B．0.5
C．2 D．2.5
[解析] y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是＝＝2，故选C．
2．物体运动方程为s＝t4－3t2，则t＝4时的瞬时速度为( D )
A．4 B．64
C．16 D．40
[解析] ∵s′＝(t4－3t2)′＝t3－6t，
∴s′(4)＝43－6×4＝40.
3．f ′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( D )
A．－ B．－3
C．－1 D．3
[解析] 因为f ′(x)＝x2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.
4．(2018·合肥一六八中高二期中)若可导函数f(x)的图像过原点，且满足 ＝－1，则f ′ (0)＝( B )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] ∵f(x)图像过原点，∴f(0)＝0，
∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B．
5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( A )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
[解析] ∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
∴k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，
∴k1>k2.
6．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( C )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
[解析] 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f ′(x)＝2cos x－sin x，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
故选C．
7．若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( A )
A．64 B．32
C．16 D．8
[解析] ∵f ′(x)＝－x－，∴f ′(a)＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18，
∴a＝64.
8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2015(x)＝( D )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[解析] f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，
∴4为最小正周期．
∴f2015(x)＝f3(x)＝－cosx.
9．曲线y＝x3，x>0在点P处的切线的斜率为k，当k＝12时，P点坐标为( C )
A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．(－，－)
[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)(x0>0)，
∴k＝3x＝12，∴x0＝±2，∴x＝2，
∴P点坐标为(2,8)，故选C．
10．(2019·山西省太原五中月考)已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D．
11．(2019·烟台质检)已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f ′(x)的图像大致形状是( B )
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图像为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B．
12．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝( C )
A．26 B．29
C．212 D．215
[解析] f ′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′
∴f ′(0)＝a1a2…a8.
∵{an}为等比数列，a1＝2，a8＝4，
∴f ′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．设f(x)＝＋，则f ′()＝ －＋2 .
[解析] f ′(x)＝(＋)′＝－＋，
∴f ′()＝＋＝－＋2.
14．(2019·全国Ⅰ卷理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为__y＝3x__.
[解析] y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
15．已知函数f(x)的导函数f ′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝__6__.
[解析] ∵f ′(x)＝6x＋2f ′(2)，
∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)．
∴f ′(2)＝－12.
∴f ′(x)＝6x－24.
∴f ′(5)＝30－24＝6.
16．已知函数f(x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是__①③⑤__.(填上正确的序号)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋.
[解析] ①中的函数f(x)＝x2，f ′(x)＝2x，要使f(x0)＝f ′(x0)，则x＝2x0，解得x0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f(x0)＝f ′(x0)，则e－x0＝－e－x0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f(x0)＝f ′(x0)，则lnx0＝，由于函数y＝lnx与y＝的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f(x0)＝f ′(x0)，则tanx0＝，即sinx0cosx0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x0)＝f ′(x0)，则x0＋＝1－，即x－x＋x0＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，则g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；
(2)f(x)＝2－2sin2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝2tanx.
[解析] (1)因为f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
所以f ′(x)＝3x2＋2x－1.
(2)因为f(x)＝2－2sin2＝1＋cosx，
所以f ′(x)＝－sinx.
(3)f ′(x)＝
＝.
(4)因为f(x)＝2tanx＝，
所以f ′(x)＝
＝＝.
18．(本题满分12分)求曲线y＝f(x)＝x2－3x＋2lnx在(3，f(3))处切线的斜率及切线方程．
[解析] 由已知x>0，
∴f ′(x)＝x－3＋.
曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为f ′(3)＝.又f(3)＝－9＋2ln3＝－＋2ln3.
∴方程为y－(－＋2ln3)＝(x－3)，
即y＝x－＋2ln3.
19．(本题满分12分)求过原点作曲线C：y＝x3－3x2＋2x－1的切线方程．
[解析] 设切点为(x0，y0)，
∵y′＝3x2－6x＋2，
∴切线斜率为3x－6x0＋2，
∴切线方程为y－y0＝(3x－6x0＋2)(x－x0)
∵切点在曲线C，
∴y0＝x－3x＋2x0－1， ①
又切线过原点，
∴－y0＝(3x－6x0＋2)(－x0)， ②
由①②得0＝－2x＋3x－1，
∴2x－3x＋1＝0，
因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
∴x0＝1或x0＝－，
∴两个切点为(1，－1)，(－，－)
∴两条切线方程为y＋1＝－1(x－1)和y＋＝(x＋)
即x＋y＝0或23x－4y＝0.
20．(本题满分12分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
[解析] (1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6(℃)．
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)T′(5)＝ ＝－1.2，
它表示t＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.
21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] ∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，
∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x.
∴f ′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，得4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f ′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.
综上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
22．(本题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是一元三次函数，且f(0)＝0，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(3)＝0；
(2)f ′(x)是一次函数，且x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
[解析] (1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知，得，
解之，得a＝，b＝－，c＝0，d＝0.
故f(x)＝x3－x2.
(2)由于f ′(x)为一次函数，则f(x)必为二次函数．
令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x)＝2ax＋b，
代入x2f ′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1中，
x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0，
由多项式恒等的条件知，
解之，得.
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
课件31张PPT。第三章变化率与导数章末整合提升知识网络知识整合专题突破题型一 ?导数的概念及几何意义典例 1 『规律方法』 根据导数的几何意义知，函数的导数就是曲线在该点的切线斜率，利用斜率求出切点的坐标，再由点斜式求出切线方程．求函数的导数时，可按照导数公式和导数的运算法则进行计算，若表达式比较复杂，可先进行变形化简，再求导．题型二 ?求函数的导数典例 2 『规律方法』 求函数的导数的两个策略
(1)解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则．
(2)对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错，故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式．D 2．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋lnx，则f ′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．eB3．函数y＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．y′＝2(x2－a2) B．y′＝3(x2＋a2)
C．y′＝3(x2－a2) D．y′＝2(x2＋a2)
[解析] y＝(x＋2a)(x－a)2
＝(x＋2a)(x2－2ax＋a2)，
∴y′＝(x＋2a)′(x2－2ax＋a2)＋(x＋2a)(x2－2ax＋a2)′＝x2－2ax＋a2＋(x＋2a)(2x－2a)
＝x2－2ax＋a2＋2x2＋2ax－4a2
＝3x2－3a2.故选C .CD 二、填空题
5．在火车开出车站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则在t＝__________s时，加速度为2.8m/s2.
[解析] v′(t)＝0.4＋1.2t，即加速度a(t)＝0.4＋1.2t.令a(t)＝2.8，则0.4＋1.2t＝2.8，解得t＝2，即在t＝2s时加速度为2.8m/s2.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为____________________.
[解析] ∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.2 2x－y＋1＝0 三、解答题
7．已知曲线C?y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程和切点坐标．
