第四章 学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是( A )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[解析] f ′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f ′(x)<0，解得x<2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，2)．
2．已知f(x)＝x2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( B )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
[解析] f ′(x)＝2x＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，
即f ′(1)＝－2，∴f ′(x)＝2x－4，∴f ′(0)＝－4.
3．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值是( B )
A．－3 B．－6
C．－2 D．0
[解析] f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3，
∴f ′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
即f(x)在[－1,1]上是单调递增的，
故当x＝1时，f(x)max＝－6.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
5．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( B )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx
C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝
[解析] 对于A，f ′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f ′(x)<0，当x∈(0，π)时，f ′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f ′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B．
6．(2019·全国Ⅱ卷文，8)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] 由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A．
7．如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是( B )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
[解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：
(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．
8．已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图像是( A )
[解析] f(x)＝x2＋cosx，f ′(x)＝x－sinx，
∵－1≤sinx≤1，且f ′(－x)＝－f ′(x)，
∴f ′(x)为奇函数，排除B、D；
令g(x)＝x－sinx，则g′(x)＝－cosx，
当x∈(0，)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，)上为减函数，
即f ′(x)在(0，)上为减函数，排除C，故选A．
9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( D )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
[解析] 设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8 300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.令L′(P)＝0，解得P＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23 000，因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0.所以L(30)是极大值也是最大值．
10．已知f ′(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图像可能是( C )
[解析] ∵x＝－2时， f(x)取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f ′(x)<0，∴xf ′(x)>0，在点(－2,0)右侧f ′(x)>0，∴xf ′(x)<0，故选C．
11．(2019·全国Ⅲ卷文，7)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D．
12．(2019·天门市调研)已知函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( D )
A．偶函数且图像关于点(π，0)对称
B．偶函数且图像关于点(，0)对称
C．奇函数且图像关于点(，0)对称
D．奇函数且图像关于点(π，0)对称
[解析] ∵f(x)的图像关于x＝对称，
∴f(0)＝f()，∴－b＝a，
∴f(x)＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin(x＋)，
∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asinx.
显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为__－1__.
[解析] f ′(x)＝－1，令f ′(x)＝0，即x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
f ′(x)
＋
0
－
f(x)
单调
递增
极大值
－1
单调
递减
1－e
由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1.
14．(2019·南开区二模)已知f(x)＝x(2 016＋lnx)，f ′(x0)＝2 017，则x0＝__1__.
[解析] f ′(x)＝2 016＋lnx＋1＝2 017＋lnx，
又∵f ′(x0)＝2 017，∴f ′(x0)＝2 017＋lnx0＝2 017，
则lnx0＝0，x0＝1.
15．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__a<－1__.
[解析] ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.
∴a<－1.
16．已知函数f(x＋2)是偶函数，x>2时f ′(x)>0恒成立(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)＝0，则不等式(x＋2)f(x＋3)<0的解集为__(－∞，－3)∪(－2,1)__.
[解析] ∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴其图像关于y轴对称，∵y＝f(x＋2)的图像向右平移两个单位得到y＝f(x)的图像，∴函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∵x>2时，f ′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f(4)＝0，∴f(0)＝0，∴0
4时，f(x)>0，
由(x＋2)f(x＋3)<0得(1)
或(2)
由(1)得∴x<－3；
由(2)得∴－2综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a∈R，b∈R)．若a>0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋b，∴f ′(x)＝3x2＋2ax.
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
又∵a>0，∴－<0.
∴当x<－或x>0时，f ′(x)>0；
当－∴f(x)在(－∞，－)和(0，＋∞)上是增函数，
在(－，0)上是减函数．
∴f(－)是f(x)的极大值，f(0)是f(x)的极小值，
即f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b＝5；f(0)＝b＝1，解得a＝3，b＝1.
∴所求的函数解析式是f(x)＝x3＋3x2＋1.
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
由于函数f(x)的图像过原点，则f(0)＝0，从而b＝0，
又函数图像在原点处的切线斜率是－3，则f ′(0)＝－3，
所以－a(a＋2)＝－3，解得a＝－3或a＝1.
(2)令f ′(x)＝0，即3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0，解得x1＝a，x2＝－.
由于函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，则有
，或，
解得，或.
所以a的取值范围是(－5，－)∪(－，1)．
19．(本题满分12分)设函数f(x)＝－kln x，k＞0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[解析] (1)由f(x)＝－kln x，(k＞0)得
f ′(x)＝x－＝.
由f ′(x)＝0解得x＝.
f(x)与f ′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，
且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间( 1，]上仅有一个零点.
20．(本题满分12分)如图，在半径为3的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB＝x m，圆柱的体积为V m3.
(1)写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？(圆柱体积公式：V＝Sh，S为圆柱的底面积，h为圆柱的高)
[解析] (1)连接OB，因为AB＝x m，所以OA＝m，设圆柱的底面半径为r m，则＝2πr，即4π2r2＝9－x2，所以V＝πr2x＝π··x＝，其中0(2)由V′＝＝0及0x
(0，)
(，3)
V′
＋
0
－
V
?
极大值
?
所以当x＝时，V有极大值，也有最大值，为 m3.
答：当x为时，做出的圆柱形罐子的体积最大，最大体积是 m3.
21．(本题满分12分)(2019·全国Ⅲ文，20)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0[解析] (1)f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)>0，
当x∈时，f ′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)>0，
当x∈时，f ′(x)<0，
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)当0于是m＝－＋2，M＝
所以M－m＝
当0所以M－m的取值范围是.
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
22．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，21)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a<0，则当x∈(0，－)时，f ′(x)>0.
当x∈(－，＋∞)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f(－)＝ln(－)－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln(－)－1－≤－－2，
即ln(－)＋＋1≤0.
设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.
当x∈(0,1)时，g′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x>0时，g(x)≤0.
从而当a<0时，ln(－)＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.
课件57张PPT。第四章导数应用章末整合提升知识网络知识整合1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与其导数的正负的关系：
如果f ′(x)>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数在这个区间内单调递减；如果f ′(x)＝0，那么函数在这个区间内为常数．
2．在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件，如果出现个别点使得f ′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．所以在已知函数的单调性，求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到，也就是导数值为零的点需要单独验证，以免出错．
注意：当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．3．(1)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较陡峭(向上或向下)；反之，函数的图像就平缓一些．
(2)f ′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．在区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，则切线倾斜角为锐角，曲线呈向上增加状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f ′(x)<0，则切线倾斜角为钝角，曲线呈向下减少状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．4．(1)根据极值的定义可知，在可导函数中，若x0为极值点，则必有f ′(x0)＝0(此结论常用来求参数)，但f ′(x0)＝0时，x0不一定为极值点，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点．如函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f ′(0)＝0，但x＝0却不是极值点．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值时，将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(3)如果函数y＝f(x)的图像是区间[a，b]上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则
①f(x)在[a，b]上必有最值点．②若函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．
(4)有关函数零点个数的问题，可以根据函数的单调性、极值和最值，利用数形结合的思想方法，借助函数图像判断函数零点的个数．
5．(1)已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法．通常将f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围．
(2)对于证明f(x)≥(或≤)m恒成立的问题，可以转化为证明相应函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的问题．专题突破1．利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f ′(x)；
(2)解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0；
(3)确定函数的单调增区间、减区间．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上的导函数为f ′(x)，若f ′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；若f ′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减．题型一 ?利用导数研究函数的单调性 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行．求：
(1)a的值；
(2)函数f(x)的单调区间．典例 1 『规律方法』 函数的单调性与其导函数值的正负一一对应，判断函数的单调性时，可以通过计算其导函数取值的正负情况进行判断，也可以由导函数图像来判断导函数取值的正负．1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求方程f ′(x)＝0的根；
(3)检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符号．
若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值．
否则，此根不是f(x)的极值点．题型二 ?函数的极值与最值2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值和最小值．典例 2 『规律方法』 本题结合函数极值的求法，用待定系数法求出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间．在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小．本题主要体现了化归思想的应用．典例 3 已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x)>0(或f ′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x)≥0或(f ′(x)≤0)，且使f ′(x)＝0的点仅有有限个．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．题型三 ?求参数的取值范围问题典例 4 1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f ′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．题型四 ?导数的实际应用2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f ′(x)＝0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．典例 5 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
[思路分析] 1.要求每天的盈利额，首先将次品率转化为正品率计算正品的产量，再乘以每件产品的利润即可表示出每天的盈利额．
2．要求日盈利额的最大值，则首先求出T′＝0时的日产量，再讨论c的范围，从而确定日产量的取值．『规律方法』 1.当题目中含有参数时，一般要对参数进行讨论，如本题中针对参数c的讨论一方面决定了日盈利额的表达式，另一方面影响了日产量的取值．
2．若参数有一定的范围，则要特别注意参数的取值范围对变量取值的影响，如本题中c为小于6的正常数，则T′＝0，日产量只能取3.题型五 ?导数的综合应用典例 6 『规律方法』 用导数研究函数的性质比用初等数学的方法研究要方便的多．在知识的交汇处设计一些综合问题，突出理性思维能力，用导数作为工具研究函数的性质、函数与方程、函数与不等式方面有其新的背景和载体，同时以导数的几何意义为背景设置导数与解析几何、函数结合的综合题也甚为常见，一般以解答题形式出现，难度中等偏高．C 2．已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项正确的是( )
A．f(e)C．f(e)6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(0)的值为__________.
[解析] 由题意得f ′(x)＝(2x＋3)ex，则得f ′(0)＝3.3 