第一章 1.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为( C )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．命题“?x0∈N，使得lnx0(x0＋1)<1”的否定是( D )
A．?x∈N，都有lnx(x＋1)<1
B．?x?N，都有lnx(x＋1)≥1
C．?x∈N，都有lnx(x＋1)>1
D．?x∈N，都有lnx(x＋1)≥1
[解析] 由于特称命题的否定为全称命题，所以“?x0∈N，使得lnx0(x0＋1)<1”的否定为“?x∈N，都有lnx(x＋1)≥1”．故选D．
3．下列命题中为特称命题的是( C )
A．所有的整数都是有理数
B．三角形的内角和都是180°
C．有些三角形是等腰三角形
D．正方形都是菱形
[解析] A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．
4．下列四个命题中，假命题为( B )
A．?x∈R,2x>0 B．?x∈R，x2＋3x＋1>0
C．?x∈R，lg x>0 D．?x∈R，x＝2
[解析] 当x＝－1时，x2＋3x＋1＝－1<0，故命题“?x∈R，x2＋3x＋1>0”为假命题．
5．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[解析] ②③含有全称量词，所以是全称命题．
6．已知命题p：?x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( A )
A．[0,4] B．(0,4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
[解析] 假设p为真，
Δ＝a2－4a>0，
即a>4或a<0，
∵p为假，∴0≤a≤4，
∴实数a的取值范围[0,4]．
二、填空题
7．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是__－1
[解析] 由条件得命题“任意x∈R，使2x2＋(a－1)x＋>0”是真命题．所以Δ＝(a－1)2－4<0，
解得－18．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.
[解析] x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．
三、解答题
9．用符号表示下列全称命题：
(1)对任意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；
(2)对所有实数m，都有<0；
(3)对每一个实数x，都有cos x<1.
[解析] (1)?a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．
(2)?m∈R，<0.
(3)?x∈R，cos x<1.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( D )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在大于等于3的实数
[解析] 选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．
2．已知命题p：?x∈R，x2＋2x＋2>0，则?p是( C )
A．?x0∈R，x＋2x0＋2<0
B．?x∈R，x2＋2x＋2<0
C．?x0∈R，x＋2x0＋2≤0
D．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确．
3．(2019·浙江杭州高二检测)已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围是( C )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
[解析] p真：m<0.
q真：Δ＝m2－4<0，∴－2∵p、q均为真命题，
∴－24．已知命题p：?x0∈N，xA．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
[解析] 由x二、填空题
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＝0，则实数a的取值范围是__－1[解析] 当a＝0时，x0＝0满足题意．
当a≠0时，由题意知方程ax2＋2x＋a＝0有实数根，
∴，
∴－1综上可知－16．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__(－∞，－2)__.
[解析] 由条件知，
∴m<－2.
三、解答题
7．为使下列p(x)为真命题，求x的取值范围．
(1)p(x)：log2x2－1>0.
(2)p(x)：4x－2x＋1－3<0.
(3)p(x)：＝sinx－cosx.
[解析] (1)由log2x2－1>0，得log2x2>1，
∴
∴x>或x<－，
因此，使p(x)为真命题的x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)令2x＝a，则a2－2a－3<0，∴－1∴2x<3，x因此使p(x)为真命题的x的取值范围为(－∞，log23)．
(3)由＝sinx－cosx，
得|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
因此，使p(x)为真命题的x的取值范围为
[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z.
8．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．
所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
