第一章 1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么( D )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p为真命题，q为假命题
D．命题q和命题p的真假不同
[解析] “p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．
2．已知U＝R，A?U，B?U，命题p：∈A∪B，则?p是( D )
A．?A B．∈?UB
C．?A∩B D．∈(?UA)∩(?UB)
[解析] ?p：?A∪B，即∈(?UA)∩(?UB)，故选D．
3．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(?q)；④(?p)或q中，真命题是( C )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2
4．下列命题是真命题的是( B )
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．9≤7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[解析] 3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．
5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若>，则a>b，则( A )
A．p或q为真 B．p且q为真
C．p真q假 D．p、q均为假
[解析] x>2?x2>4，x2>4x>2，故p为假命题；由>?a>b，故q为真命题，
∴p或q为真，p且q为假，故选A．
6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是( B )
A．p假q假 B．“p或q”为真
C．“p且q”为真 D．p假q真
[解析] ∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．
∵?≠{0}，∴q假．
故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．
二、填空题
7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m?α， n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中：①p或q；②p且q；③p或(?q)；④(?p)且q.真命题的序号是__①④__(写出所有真命题的符号)．
[解析] 易知p是假命题，q是真命题．
∴?p为真，?q为假，∴p或q为真，p且q为假，p或(?q)为假，(?p)且q为真．
8．p：ax＋b>0的解集为x>－；
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p且q是__假__命题(填“真”或“假”)．
[解析] p中a的符号未知，q中a与b的大小关系未知，因此命题p与q都是假命题．
三、解答题
9．写出下列命题的否定和否命题．
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)若a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0；
(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角．
[解析] (1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．
(2)原命题的否定：若a2＋b2＝0，则a和b中至少有一个不为0.
原命题的否命题：若a2＋b2≠0，则a和b中至少有一个不为0.
(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
B级 素养提升
一、选择题
1．由命题p：“函数y＝是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( B )
A．p或q为真，p且q为假 B．p或q为假，p且q为假
C．p或q为真，p且q为假 D．p或q为假，p且q为真
[解析] ∵p为假，q为假，∴p或q为假，p且q为假．
2．(2019·湖北武汉高二检测)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2 m”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2 m”，则命题(?p)或(?q)表示( D )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2 m
B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2 m
C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2 m
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2 m
[解析] ?p表示“甲的试跳成绩不超过2 m”，?q表示“乙的试跳成绩不超过2 m”，故(?p)或(?q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2 m”．
3．(2017·山东文，5)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p且q B．p且(?q)
C．(?p)且q D．(?p)且(?q)
[解析] ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，?p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，?q为真命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，?q为真命题．
根据真值表可知p且(?q)为真命题，p且q，(?p)且q，(?p)且(?q)为假命题．
故选B．
4．(2019·全国Ⅲ卷文，11)记不等式组表示的平面区域为D．命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p或q ②(?p)或q ③p且(?q) ④(?p)且(?q)
这四个命题中，所有真命题的编号是( A )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
[解析] 方法1：画出可行域如图中阴影部分所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．
故选A．
方法2：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．
故选A．
二、填空题
5．(2019·湖北孝感高二检测)在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p是“第一次射击击中目标”，q是“第二次射击击中目标”．则命题“两次都没有击中目标”用p、q及逻辑联结词可以表示为__(?p)且(?q)__.
[解析] p是第一次射击击中目标，则?p是第一次没有击中目标，q是第二次射击击中目标，则?q是第二次没有击中目标，两次都没有击中目标用p，q及逻辑联结词可以表示为(?p)且(?q)．
6．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“?q且p”为真，则x的取值范围是__(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)__.
[解析] 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，
∴p：x<－3或x>1.
由>1, 得<0，∴2∴q：2若“?q且p”为真，则有，
∴x<－3或1三、解答题
7．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：a2＋8a－20<0，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] ax2＋ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式恒成立，满足题意．
当a≠0时，由题意得，解得0q：a2＋8a－20<0，∴－10∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p、q一真一假．
当p真q假时，，∴2≤a<4.
当p假q真时，，
∴－10综上可知，实数a的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．
8．已知命题p：不等式x2＋kx＋1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根，若p且q为假，p或q为真．求实数k的取值范围．
[解析] 当p为真命题时，Δ＝k2－4≤0，所以－2≤k≤2.
当q为真命题时，令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根
∴，即，
所以k<－2.
要使p且q为假，p或q为真，则p真q假，或者是p假q真．当p真q假时，－2≤k≤2，当p假q真时，k<－2.综上：k≤2.
课件53张PPT。第一章常用逻辑用语§4 逻辑联结词“且”“或”“非”自主预习学案
1．逻辑联结词“且”
用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”，当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是__________命题；在两个命题p和q之中有一个命题是假命题时，新命题“p且q”是__________命题．
2．逻辑联结词“或”
用“或”联结两个命题p和q构成一个新命题“p或q”，两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题，新命题“p或q”就是__________命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是__________命题．真 假 真 假 3．逻辑联结词非
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作
__________，读作__________或__________.
若p是真命题，则?p是__________命题，若p是假命题，则?p是__________命题．?p 非p p的否定 假 真 1．关于逻辑联结词“且”
(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”“及”“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时成立．1．已知命题“正方形的对角线互相垂直平分”，则( )
A．该命题是假命题
B．该命题的条件是对角线互相垂直平分
C．该命题的逆否命题是假命题
D．该命题是“p且q”形式的命题
[解析] 该命题是p且q形式的命题，p：正方形的对角线互相垂直；q：正方形的对角形互相平分．D2．若命题“p且q”为假，“?p”为假，则( )
A．p或q为假 B．q假
C．q真 D．p假
[解析] “?p”为假，则“p”为真，由“p且q”为假，知“q”为假．B3．将命题p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解，用联结词“或”联结得到的新命题为______________________________，其为__________命题．(填“真”或“假”)
[解析] 由已知得“p或q”为：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；∵p、q均为真命题，∴p或q为真．－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解 真 4．已知命题p：偶函数的图像关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p且q B．(?p)且(?q)
C．(?p)且q D．p且(?q)
[解析] ∵p为真命题，q为假命题，
∴p且(?q)为真命题，故选D．D5．写出下列命题的否定与否命题，并判断它们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若A∪B＝B，则A?B．互动探究学案命题方向1 ?命题的否定典例 1
〔跟踪练习1〕
写出下列命题的“?p”形式．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
[解析] (1)?p：函数y＝3x2不是偶函数．
(2)?p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．命题方向2 ?含逻辑联结词的命题真假的判断典例 2 『规律方法』 1.判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为：
第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p和q.
第二步，利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假．
第三步，利用真值表判定复合命题的真假．
2．否定性命题，可举反例判断真假． 写出下列各命题的否定形式及否命题．
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.命题方向3 ?命题的否定与否命题典例 3 [解析] (1)否定形式：存在面积相等的两三角形不全等．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：存在实数m、n、a、b满足m2＋n2＋a2＋b2＝0，但实数m，n，a，b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
(3)否定形式：存在x、y满足xy＝0，但x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.『规律方法』 1.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．
2．注意复合命题“p或q”“p且q”的否定．〔跟踪练习3〕
写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)等腰三角形有两个内角相等；
(2)自然数的平方是正数．
[解析] (1)否定形式：存在某个等腰三角形它的任意两个内角都不相等．
否命题：任意两边都不相等的三角形的任意两个内角都不相等．
(2)否定形式：存在平方不是正数的自然数．
否命题：如果一个数不是自然数，则它的平方不是正数．根据命题的真假求参数范围 已知p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若“p或q”为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．典例 4 『规律方法』 解决与含逻辑联结词的命题的真假有关的参数问题的一般步骤如下：
(1)分别求出p真，q真时参数的取值范围；
(2)根据真值表和已知p且q，p或q的真假判断p、q的真假；
(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围．〔跟踪练习4〕
已知a>0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p和q中有且只有一个为真命题，求a的取值范围．1．注意审题时隐含条件的发掘典例 5 2．对命题的否定要准确典例 6 C 2．命题“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a，b中至少有一个不为0
D．a，b不都为0A3．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则?p是?q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件Ab≤a≤0 课时作业学案