第三章 3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( D )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[解析] 写出自变量x0和x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量．
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点(，)及邻近一点(＋Δx，＋Δy)，则＝( D )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
[解析] ∵Δy＝f(＋Δx)－f()＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.故选D．
3．f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于( A )
A．12 B．24
C．2 D．－12
[解析] Δy＝f(3)－f(1)＝33－3＝24，
∴＝＝12.故选A．
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中．平均变化率最大的是( B )
A．④ B．③
C．② D．①
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
5．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的增量为( C )
A．1 B．2
C． D．
[解析] Δy＝－＝.
6．(2019·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
[解析] ∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，
∴＝＝2.1.故选A．
二、填空题
7．y＝x2－2x＋3在x＝2附近的平均变化率是__2＋Δx__.
[解析] Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx)2＋2Δx.
∴＝＝Δx＋2.
8．物体的运动方程是s(t)＝4t－0.3t2，则从t＝2到t＝4的平均速度是__2.2__.
[解析] 由题意，可得Δt＝4－2＝2，Δs＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，
∴平均速度为＝＝2.2，故填2.2.
三、解答题
9．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s(t)＝t2(位移单位：m，时间单位：s)．求小球在5到6秒间的平均速度和5到5.1秒间的平均速度，并与匀速直线运动速度公式求得的t＝5时的瞬时速度进行比较．
[解析] 1＝＝36－25＝11(m/s)，
2＝＝＝10.1(m/s)．
由于小球做匀速直线运动，且初速度为0，
故s＝at2＝t2，
∴a＝2，
5秒时的速度v＝at＝2×5＝10(m/s)．
∴5到5.1秒间的平均速度更接近5秒时的瞬时速度．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( A )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
[解析] k1＝＝
＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
由题意知：Δx>0，∴k1>k2，选A．
2．已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( D )
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
∴＝＝－Δx＋3.
3．已知物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s( C )
A．是物体从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间的平均速度
C．是物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．是物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．
二、填空题
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 .
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
5．已知s(t)＝gt2，则t＝3s到t＝3.1s的平均速度为__30.5m/s__.(g取10 m/s2)
[解析] 平均速度为＝＝30.5(m/s)．
三、解答题
6．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[解析] ＝
＝
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s.
(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，
∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12 cm/s.
7．试计算余弦函数f(x)＝cosx在自变量x从0变到和从变到时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
[解析] 自变量x从0变到时，函数f(x)＝cosx的平均变化率为：
＝＝－.
自变量x从变到时，函数f(x)＝cosx的平均变化率为：
＝＝－.
因为|－|<|－|，所以函数f(x)＝cosx在自变量x从变到时函数值变化得较快．
课件47张PPT。第三章变化率与导数莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646－1716)是17,18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才．他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献．
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭.15岁时，他进了莱比锡大学学习，他广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著作进行深入的思考和评价．在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣.17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位.20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学． 这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》．这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果. 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员．此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学.1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士，建立了柏林科学院并任首任院长．§1 变化的快慢与变化率自主预习学案
斜率 1．关于Δx
(1)函数的变化率可以表现出函数的变化趋势，当增量Δx取得越小，越能准确地体现函数的变化情况．
(2)某些时候我们可能求出某函数f(x)从x1到x2的平均变化率为0，这并不一定说明函数f(x)没有发生变化，应取Δx更小进行研究．1．(2018·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[解析] 由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数，不可以是0.
故选D．DC 3．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.41 B．2
C．0.3 D．0.2B4．某物体做匀速直线运动，其方程为s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任意时刻的瞬时速度的关系是__________.相等 互动探究学案命题方向1 ?平均变化率典例 1
D 求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．命题方向2 ?瞬时变化率典例 2
命题方向3 ?瞬时速度典例 3
D 求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．导数的应用典例 4 『规律方法』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．
由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．因没正确理解Δx与Δy的含义而致误 典例 5 [错解] ①②③
[辨析] 误解是没有正确理解Δx和Δy的含义．事实上，Δx和Δy是一个整体符号，Δx表示x2－x1，Δy表示y2－y1，不能将Δx理解为Δ与x的积，也不能将Δy理解为Δ与y的积．
[正解] ②B C 50 m/s 4．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是__________.－1 5．(2019·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度．课时作业学案
