第三章 3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为( B )
A．2x B．2
C．3 D．4
[解析] f ′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1处的导数为
f ′(1)＝2.
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( D )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[解析] 观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
4．若f(x)＝sinx，则f ′(2π)和(f(2π))′的值分别为( A )
A．1和0 B．－1和0
C．0和1 D．cosx和－1
[解析] (sinx)′＝cosx，∴f ′(2π)＝cos2π＝1.
又f(2π)＝sin2π＝0，∴(f(2π))′＝0，故选A．
5．下列函数中，导函数是奇函数的是( D )
A．y＝sinx B．y＝ex
C．y＝lnx D．y＝cosx－
[解析] 由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，故A错；又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，∴B错；C中y＝lnx的定义域x>0，∴C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D．
6．(2018·滁州民办高中检测)已知函数h(x)＝，则h′(4)等于( C )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 因为h(x)＝＝4x－，所以h′(x)＝4×(－)x－，h′(4)＝4×(－)×4－＝－.故选C．
二、填空题
7．(2019·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是__4__.
[解析] y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝，
令y＝0得，x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
8．函数y＝sin π，则y′＝__0__.
[解析] y＝sin π＝0，∴y′＝0.
三、解答题
9．求曲线y＝cos x在x＝处的切线方程．
[解析] ∵y＝cos x，∴y′＝－sin x.
∴曲线y＝cos x在x＝处的切线的斜率
k＝－sin＝－.
又当x＝时，y＝cos＝，
故曲线在x＝处的切线方程为
y－＝－(x－)，
即x＋2y－－＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
A．1 B．－
C． D．
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
2．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝ln x上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
3．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( D )
A．e2 B．2e2
C．e2 D．
[解析] ∵y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D．
4．以正弦曲线y＝sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪(，]
[解析] ∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
∵cosx∈[－1,1]，
∴切线的斜率的范围是[－1,1]，
∴倾斜角的范围是[0，]∪[，π)．故选A．
二、填空题
5．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.
[解析] 由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．
6．(2019·山东青岛高三期初调研检测)已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是 .
[解析] ∵f(x)＝ex，∴f(0)＝e0＝1，f′(0)＝e0＝1.
∴切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，
∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝(当且仅当a＝－，b＝时取等号)．
三、解答题
7．已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程．
[解析] 由题意，得f ′(x)＝2x，点P不在曲线上，
设直线与曲线相切于点(x0，y0)，
则所求切线方程的斜率k＝2x0，
所以切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
由(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，得y0＝x，
将(x0，x)代入切线方程得x＝2x0(x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2，
所以所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
8．求证：双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
[解析] 设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－，
∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.
∴S△＝|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.
课件41张PPT。第三章变化率与导数§3 计算导数自主预习学案
(2)如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处的导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内__________.这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f ′(x)，于是在区间(a，b)内f ′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的__________，记为f ′(x)(或y′)．
(3)f ′(x)与f ′(x0)的区别与联系
①f ′(x)表示函数y＝f(x)的导函数，而f ′(x0)表示函数y＝f(x)在点x＝__________处的导数．
②f ′(x)是一个函数，是y＝f(x)的导数值关于x的函数，而f ′(x0)是一个具体的数值，f ′(x0)是导函数f ′(x)在x＝__________时的函数值．可导 导函数 x0 x0 cosx －sinx ex 1．函数f(x)＝0的导数是( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
[解析] 常数函数的导数为0.AA D 4．若f(x)＝tan x, f ′(x0)＝1，则x0的值为______________.kπ(k∈Z) 5．求下列函数的导数：
(1)y＝a2(a为常数)；
(2)y＝x12；
(3)y＝x－4；
(4)y＝lg x.互动探究学案命题方向1 ?求基本初等函数的导数典例 1 『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．命题方向2 ?求某一点处的导数典例 2 『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：
(1)先求函数的导函数；
(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．命题方向3 ?利用导数公式求切线方程典例 3 『规律方法』 求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
注意导数为0和导数不存在的情形．C 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
[思路分析] 由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程． 导数的应用 典例 4 『规律方法』 求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
①设出切点坐标为(x0，y0)；
②写出切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)；
③代入点P的坐标，求出x0、y0. 准确应用公式 典例 5 1．设y＝e3，则y′等于( )
A．3e2 B．e2
C．0 D．以上都不是
[解析] ∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.CA D 5．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．课时作业学案
