第三章 3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为( B )
A．4 B．8
C．10 D．12
[解析] s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
2．函数y＝x·ln x的导数是( C )
A．y′＝x B．y′＝
C．y′＝ln x＋1 D．y′＝ln x＋x
[解析] y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1.
3．若函数f(x)＝sin x＋cos x，则f ′()的值为( D )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[解析] f ′(x)＝cos x－sin x，∴f ′()＝cos－sin＝－1.
4．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( B )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] y′＝3x2－2，∴切线的斜率k＝3－2＝1，∴切线的倾斜角为45°.
5．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( C )
A． B．0
C．钝角 D．锐角
[解析] y′|x＝4＝(exsin x＋excos x)|x＝4
＝e4(sin 4＋cos 4)＝e4sin (4＋)<0，
故倾斜角为钝角，选C．
6．若函数f(x)＝f ′(1)x3－2x2＋3，则f ′(1)的值为( D )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[解析] ∵f ′(x)＝3f ′(1)x2－4x，
∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2.
二、填空题
7．(2018·全国Ⅱ文，13)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.
[解析] 因为y′＝，y′＝2，
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
8．(2019·贵州遵义一中高二检测)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝__2__.
[解析] ∵f ′(x)＝(xsin x)′＝x′sin x＋x·(sin x)′
＝sin x＋xcos x
∴f ′()＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
∴1×(－)＝－1，∴a＝2.
三、解答题
9．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图像上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图像在x＝a处的切线平行于直线AB．
[解析] 直线AB的斜率kAB＝－1，
f ′(x)＝3x2－2x－1，
令f ′(a)＝－1 (0
即3a2－2a－1＝－1，解得a＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·重庆巴蜀中学高二检测)不可能以直线y＝x＋b作为切线的曲线是( C )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝ex
[解析] 若y＝，则y′＝－<0，∴曲线y＝上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝x＋b.
2．函数f(x)＝的导数是( C )
A．f′(x)＝(x>0) B．f′(x)＝
C．f′(x)＝ D．f′(x)＝
[解析] f(x)＝＝＝＝＝x，∴f ′(x)＝·x－.
3．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋ln x，则f ′(e)( C )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
[解析] ∵f(x)＝2xf ′(e)＋ln x，
∴f ′(x)＝2f ′(e)＋，
∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，解得f ′(e)＝－e－1，故选C．
4．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为( D )
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
[解析] ∵f ′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f ′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.故选D．
二、填空题
5．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(1)的值为__e__.
[解析] ∵f(x)＝exln x，
∴f ′(x)＝exln x＋，∴f ′(1)＝e.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为__y＝－3x__.
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
[解析] 由f(x)的图像经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
可知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，f ′(－1)＝6.
∴，即，解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，∴，或.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
课件39张PPT。第三章变化率与导数§4 导数的四则运算法则自主预习学案
A 2．函数y＝x4＋sin x的导数为( )
A．y′＝4x3 B．y′＝cos x
C．y′＝4x3＋sin x D．y′＝4x3＋cos x
[解析] y′＝(x4＋sin x)′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x.DC 135° 互动探究学案命题方向1 ?导数的四则运算法则的应用典例 1
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f ′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．命题方向2 ?利用导数求参数典例 2 『规律方法』 求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．〔跟踪练习2〕
偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．综合应用问题 典例 3 [思路分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.『规律方法』 导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．A 准确应用公式 典例 4 D A 6 1 课时作业学案