第二章 2.2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小( C )
A．小于90° B．等于90°
C．大于90° D．不能确定
[解析] 过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.
2．(2019·福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( A )
A．x＝－1 B．x＝－3
C．x＝－1或x－3 D．y＝－1
[解析] 过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．
由题意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，
A点到准线的距离为：d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，
解得p＝2，
则抛物线的准线方程是x＝－1.
故选A．
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( B )
A．(，±) B．(，±)
C．(，) D．(，)
[解析] 设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，
∴y＝，∴y0＝±，故选B．
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( B )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] 根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( C )
A． B．1
C． D．
[解析] 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，
∴x1＋x2＝，
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
6．(2019·山东潍坊高二期末)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交曲线C于A，B，则|AB|＝( D )
A．8 B．
C．16 D．
[解析] 抛物线C：y2＝4x的焦点(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵过F且倾斜角为60°的直线为y＝(x－1)，
∴，整理得3x2－10x＋3＝0，
由韦达定理可知x1＋x2＝，
由抛物线的定义可知：|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋＝.
故选D．
二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条．
[解析] ∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．
8．(2018·北京文，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__(1,0)__.
[解析] 由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
[解析] 如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由，消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.
∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[解析] 由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1，
则＝4，即k＝2.
2．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是( B )
A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
[解析] 设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由，得A(2p,2p)．
则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是( D )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[解析] 设A(，y1)、B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，
又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．
4．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有( B )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB|
[解析] 如图，
由题意可知|PP1|
＝，
根据抛物线的定义，得
|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴|PP1|＝
＝|AB|.
二、填空题
5．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__.
[解析] ∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．
又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，
∴r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为 .
[解析] 设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.
三、解答题
7．(2018·全国Ⅱ文，20)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
8．(2018·中山一中检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．
[解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x，整理得：y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4.
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋1
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，整理得：y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4b.
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，解出b＝2
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
课件62张PPT。第二章圆锥曲线与方程§2 抛 物 线2.2 抛物线的简单性质自主预习学案
1．抛物线的简单性质
抛物线y2＝2px(p>0)的简单性质
(1)对称性：以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以__________轴为对称轴的轴对称图形．
抛物线的对称轴叫作抛物线的__________，抛物线只有一条对称轴．
(2)顶点：抛物线和它的__________的交点叫作抛物线的顶点．
(3)离心率：抛物线上的点到__________的距离和它到__________的距离的比，叫作抛物线的离心率，抛物线的离心率为1.x 轴 轴 焦点 准线 (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__________.
(5)范围：由y2＝2px≥0，p>0知x≥0，所以抛物线在y轴的__________侧；当x的值增大时，|y|也__________，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口__________.2p 右 增大 越开阔 2．直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦
(1)将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线__________，若Δ>0，则直线与抛物线__________，若Δ<0，则直线与抛物线___________________.特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有__________个公共点．
(2)在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程__________的问题．相切 相交 没有公共点 一 根 1．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为1．顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±2y B．x2＝±y
C．y2＝±x D．y2＝±2x
[解析] 由题意，设标准方程为x2＝±2py(p>0)，
∵2p＝2，∴x2＝±2y.AA 3．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)D5．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．互动探究学案命题方向1 ?待定系数法求抛物线的标准方程典例 1 『规律方法』 由抛物线的几何性质求抛物线的标准方程时，应先确定其形式，再由条件确定待定系数．命题方向2 ?抛物线的焦点弦与焦半径问题 求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．典例 2 『规律方法』 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．〔跟踪练习2〕
(1)(2019·北京昌平区高二检测)过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线l，交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为( )
A．8 B．16
C．24 D．32
(2)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p的值．B与抛物线有关的定点、定值问题
(1)从特殊入手，求出定点(或定值)，再证明这个点(或值)与其他变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去有关变量，从而得到定点或定值．命题方向3 ?最值问题 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．典例 3 『规律方法』 与抛物线有关的最值问题，一是涉及焦点或准线的距离，可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离)，构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”使问题获解；二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小，常转化为函数最值求解．C 与抛物线有关的最值问题
(1)最值问题
求解最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．
(2)常见题型及处理方法
①求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．与抛物线有关的定点、定值、最值问题 ②求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
③求抛物线弦长的最值问题可利用函数求最值的方法求解．典例 4 [点评] 自己试一下，将直线与抛物线的方程联立后消去x解答，并比较两种解法，你有什么体会？『规律方法』 解析几何中，常遇到定点、定值问题，解决这类问题常用方法是依据题设条件选取某个参数，将题中定值(或过定点的几何对象)用参数表示，然后说明与参数无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等．〔跟踪练习4〕
过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB．求证：直线AB过抛物线对称轴上的一定点．
[思路分析] 要证直线AB过定点，可先求得直线AB的方程，再求其过定点． 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．忽略斜率不存在或二次项系数为零的情况而致错 典例 5 [错解分析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6yCC B 5．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的方程．课时作业学案
