4.3 线段的长短比较学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学七年级上册同步学案
第4章　直线与角
4.3　线段的长短比较
要 点 讲 解
要点一　线段的长短比较与线段的和差
1．线段长短的比较方法
(1)度量法：利用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度来比较线段的长短．
(2)叠合法：利用直尺和圆规把两条线段放在同一条直线上比较．
2．线段的和与差
如图(1)，已知点C在线段AB的延长线上，如果线段AB＝a，线段BC＝b，那么线段AC的长度就是a与b的和，记作AC＝a＋b.
如图(2)，点D在线段AB上，如果线段AB＝a，线段BD＝b，那么线段AD的长度就是a与b的差，记作AD＝a－b.
图(1) 图(2)
经典例题1　如图，在直线上顺次取A，B，C，D四点，则AC＝________＋BC＝AD－________，AC＋BD－BC＝________．
解析：根据线段的和差的定义结合图示具体情形可得．
答案：AB　CD　AD
要点二　线段的中点
定义：在线段上把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．
如图1所示，若点C是线段AB的中点，这时有AC＝CB＝AB或AB＝2AC＝2BC.反之，线段AB上的点C将线段AB分成两段，若有AC＝BC＝AB或AB＝2AC＝2BC，则点C是线段AB的中点．
　　
图1　　　　　　　　图2
类似中点的定义，把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点，如图2所示，M，N是线段AB的三等分点，则有AM＝MN＝NB＝AB.
线段的中点必须在线段上，而且只有一个．
经典例题2　如图所示，已知线段AB＝8cm，C为线段AB上一点，M为AB的中点，MC＝2cm，N为AC的中点，求MN的长．
解析：根据线段的中点把一条线段分成两条相等的线段可知，AM＝AB＝4cm，又知MC＝2cm，所以AC＝AM＋MC＝4＋2＝6(cm)，从而求出NC，再由MN＝NC－MC求出MN.
解：因为AB＝8cm，M为AB的中点，
所以AM＝AB＝4cm.
又MC＝2cm，
所以AC＝AM＋MC＝4＋2＝6(cm)，
又N为AC的中点，所以NC＝AC＝3(cm)．
所以MN＝NC－MC＝3－2＝1(cm)．
要点三　线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短，即“两点之间，线段最短”．
如果从A地到B地，有多条道路可供选择，如图所示，一般地，人们会走中间的直路，而不是走其他的道路．从数学角度上说，就是“两点之间，线段最短”．
经典例题3　把一段弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是______________________．
解析：此题是应用线段性质解释生活中的现象，弯曲的公路可看作是曲线，而改为直的后是线段，可用“两点之间，线段最短”解释．
答案：两点之间，线段最短
要点四　两点间的距离
定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
生活中有很多地方需要测量线段的长度，也就是测量两点间的距离的例子．另外，两点之间的距离，也是点到直线的距离的基础，因此是难点．
两点间的距离是指线段的长度，是一个非负数值，而连接两点的线段是一个图形，这是两个不同的概念．
经典例题4　点A，B，C在同一直线上，如果线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点间的距离是(　　　)
A．1cm　　　　 B．9cm C．1cm或9cm D．以上都不对
解析：本题应分点C在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况进行讨论．
当点C在线段AB上时，
AC＝AB－BC＝5－4＝1(cm)；
当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝5＋4＝9(cm)，故应选C．
答案：C
易错易混警示　对两点间的距离概念理解不透
两点之间的距离是指两点之间的线段的长度，而不是两点之间的线段，线段是图形，可画出来，而距离是数量，只可量出来．
经典例题5　如果数轴上点A表示的数为3，点B到原点的距离为5，那么A，B两点间的距离是(　　　)
A．2 B．8 C．2或8 D．10
解析：点A表示的数是3，点B表示的数是5或－5.如图所示，可知AB＝8或AB＝2.
答案：C
点拨：线段是图形，两点之间的距离指的是两点之间线段的长度，而不是连接两点之间的线段．
当 堂 检 测
1. 若线段AB＝3cm，CD＝2cm，则下列判断正确的是(　　)
A. AB＝CD B. AB>CD C. AB2. 如图，下列等式不一定成立的是(　　)
A. AC－BC＝BD－BC B. AD－CD＝AB＋BC
C. AC－BC＝AD－BD D. AD－AC＝BD－BC
3. 两点的距离是(　　)
A. 一条直线的长度 B. 一条射线的长度
C. 连接两点的线段 D. 连接两点的线段的长度
4. 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是(　　)
A. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程
B. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D. 利用圆规可以比较两条线段的长短关系
5. 如图，C，D是线段AB延长线上两点，若CD＝4cm，DB＝7cm，且B是AC的中点，则AC的长等于(　　)
A. 3cm B. 6cm C. 11cm D. 14cm
6. 已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段AC＝2cm，则BC的长是(　　)
A. 8cm B. 4cm C. 4cm或8cm D. 无法确定
7. 长为10cm的线段AB上有一点P，M，N分别为PA，PB的中点，则线段MN等于(　　)
A. 5cm B. 6cm C. 7.5cm D. 无法确定
8. 如图，从点A到点B有a，b，c三条通道，最近的一条通道是 ，理由是 .
9. 从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，依据是 .
10. 如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点.
(1)若AB＝18cm，求DE的长；
(2)若CE＝5cm，求DB的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. C 7. A
8. b 两点之间的所有连线中，线段最短
9. 两点之间的所有连线中，线段最短
10. 解：(1)DC＝×18＝4.5(cm).CE＝×18＝4.5(cm).则DE＝DC＋CE＝4.5＋4.5＝9(cm).　
(2)若CE＝5cm，那么CB＝2×5＝10(cm)，则DC＝×AC＝5(cm)，那么DB＝DC＋CB＝5＋10＝15(cm).