4.4 角学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学七年级上册同步学案
第4章　直线与角
4.4　角
要 点 讲 解
要点一　角的概念及表示方法
1．角的概念
(1)角的静态定义：如图所示的角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形，其中，点O叫做角的顶点，射线OA，OB叫做角的边．这个角可记作∠AOB，读作“角AOB”．
(2)角的动态定义：如图所示，∠AOB也可以看成是射线OA绕着点O旋转到OB的位置后形成的图形，射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边．
(3)当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所形成的角叫做平角．当射线绕端点旋转一周，又回到原来的位置时，所形成的角叫做周角．
经典例题1　下列说法正确的是(　　　)
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的线段组成的图形叫做角
C．角是一条线段绕着它的一个端点旋转而成的图形
D．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角
解析：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故A错误；从角的定义可以知道角的两边是两条射线，而不是线段，故B，C错误．
答案：D
2．角的表示方法
用符号“∠”表示角，不能用小于号“<”表示．角的表示有以下三种方法：
(1)用三个大写字母表示(如图1所示)．
将表示顶点的字母写在中间，两边上各取一点，表示这两点的字母放在两边，这两个字母可以变换位置，记作∠AOB(或∠BOA)，任何角都可用这种方法表示．
(2)用一个大写字母表示(如图1所示)．
这个字母是表示顶点的字母，记作∠O，用这种表示方法的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如：如图2所示的∠AOB不能表示为∠O，因为顶点∠O不仅是∠AOB，∠BOC的顶点，而且还是∠AOC的顶点，若用∠O表示∠AOB就容易引起误解．
(3)用阿拉伯数字或小写希腊字母表示(如下图所示)．
用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α，β，γ等，记作∠1或∠α，当一个角的内部没有别的角时，多采用这种方法表示．
同一个角必须满足：①顶点位置相同；②两边所在的射线相同．
经典例题2　如图所示，A，O，B三点在一条直线上，则图中小于平角的角有几个？分别把它们表示出来．
解析：根据角的定义，图中射线OA与OC，OD，OE构成符合条件的角有3个；OC与OD，OE，OB构成符合条件的角也有3个(OC与OA构成的角前面已有，不再统计，以下方法相同)；OD与OE，OB构成符合条件的角有2个；OE与OB构成符合条件的角有1个．
解：有9个，它们分别是：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB.
点拨：找角的个数与找线段的条数方法相同，需按一定的方向和顺序查找，找角的个数可按顺时针(或逆时针)去找，注意要做到不重不漏．
要点二　角的度量与换算
角的
度量
单位
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″
角的
换算
1°＝60′，1′＝60″；
1周角＝360°，1周角＝2平角＝4直角；
1平角＝180°，1平角＝2直角
角度制
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制
知识
拓展
(1)把“度”换算为“度、分、秒”时，先把不足1度的部分化为分，再把不足1分的部分化为秒．
(2)把“度、分、秒”换算为“度”时，先把以秒为单位的部分化为分，再把以分为单位的部分化为度
经典例题3　(1)把25.72°用度、分、秒表示出来；(2)把45°12′30″化成度(结果保留两位小数)．
解：(1)因为0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″.
(2)因为30″＝30×()′＝0.5′，
12.5′＝12.5×()°≈0.21°，
所以45°12′30″≈45.21°.
要点三　方向角
平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方向角．
如图1所示，与地图上的方向相同，在平面图上方向为“上北、下南、左西、右东”，东北为北偏东45°，东南为南偏东45°，西南为南偏西45°，西北为北偏西45°.
如图2所示，北偏东60°，就是以正北方向的射线为角的始边，绕中心顺时针旋转60°到射线OA所指方向，射线OB表示北偏东30°方向．
经典例题4　如图所示，请在图上画出南偏西60°的射线和表示东南方向的射线，射线OA表示的方向角怎样叙述？
解析：看准方向后再画图形．
解：如图所示，表示南偏西60°的射线为OB，表示东南方向的射线为OC，射线OA表示的方向角为北偏东60°.
当 堂 检 测
1. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
B. 两条射线组成的图形叫做角
C. 两条线段组成的图形叫做角
D. 一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫做角
2. 如图所示，能用∠1，∠O，∠AOB三种方法表示同一个角的图形是(　　)
A B
C D
3. 若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下列结论正确的是(　　)
A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠3 D. ∠1＝∠2＝∠3
4. 如图，下列说法错误的是(　　)
A. 射线OA的方向是正西方向 B. 射线OB的方向是东北方向
C. 射线OC的方向是南偏东60° D. 射线OD的方向是南偏西55°
5. 下列说法中正确的是(　　)
A. 两条射线所组成的图形叫做角
B. 平角是一条直线
C. 周角是一条射线
D. 角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
6. 下列说法正确的是(　　)
①直线就是平角；②大于90°的角是钝角；③平角的一半是直角；④角的大小与角两边的长短有关；⑤用放大镜观察30°的角，角的大小不变.
A. ①②④　 B. ②⑤④　 C. ②③　 D. ③⑤
7. 如图，由点O引射线OA，OB，OC，则这三条射线组成 个角，分别是 ，其中∠AOB用数字表示为 ，∠2用三个字母表示为 .
8. 计算：
(1)26.38°＝ ° ′ ″；(2)35°40′30″＝ °.
9. 分针每分钟转 度，时针每小时转 度，分针每走1分钟，时针相应地转 度.
10. 如图，∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数.

当堂检测参考答案
1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. D
7. 3 ∠AOC，∠AOB，∠BOC ∠1 ∠AOC
8. (1)26 22 48 (2)35.675
9. 6 30 0.5
10. 解：∠1＝x°，则∠2＝2x°，∠3＝3x°，∠4＝4x°.因为∠1，∠2，∠3，∠4构成一个周角，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，即x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°，化简得10x°＝360°，解得x＝36.则∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°，∠4＝144°.