4.5.1 角的比较学案(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学七年级上册同步学案
第4章　直线与角
4.5　角的比较与补(余)角
第1课时　角的比较
要 点 讲 解
要点一　角的大小比较
角的大小比较一般有两种方法：
1．“数”的比较－－度量法
用量角器量出角的度数(量法与小学学习的方法相同)，通过比较度数的大小来确定角的大小．
如图所示，比较∠1，∠2的大小．
用量角器测得∠1＝30°，∠2＝45°，
因为30°<45°，所以∠1<∠2.
2．“形”的比较－－叠合法
把两个角的顶点重合，并将其中的一条边也重合，且使这两个角的另一条边都放在重合边的同侧，这样就可以比较出两个角的大小，即“先重合，再比较”．如图所示，两个角的大小可能有三种情况：

如比较∠AOB与∠CED的大小．先将顶点O与E重合，再将OA边与EC边重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．
①如果OB与ED重合，那么∠AOB＝∠CED，如图(1)所示．
②如果ED落在∠AOB的外部，那么∠AOB<∠CED，如图(2)所示．
③如果ED落在∠AOB的内部，那么∠AOB>∠CED，如图(3)所示．
3. 当两个角的大小差别明显时，用目测法也可以确定它们的大小关系．
经典例题1　如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝90°.比较∠AOC，∠AOF，∠AOE，∠AOB的大小．
解析：可用叠合法比较．对于比较∠AOF与∠AOB，根据图形可知，顶点O重合，OA边重合，OF边落在∠AOB的内部，所以∠AOF<∠AOB.用同种方法可得∠AOC<∠AOF，∠AOE<∠AOC.
解：∠AOE<∠AOC<∠AOF<∠AOB.
点拨：角的大小，主要看两条射线的张度(即开口)的大小，与两边的长短无关．
要点二　角的和与差
如图所示，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB是∠AOC与∠COB的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠COB，类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.
经典例题2　如图所示，已知∠1＝20°32′，∠AOB＝46°，求∠2的度数．
解析：由图知∠2＝∠AOB－∠1，将数值分别代入即可求出．
解：因为∠1＝20°32′，∠AOB＝46°，∠1＋∠2＝∠AOB，∠2＝∠AOB－∠1＝46°－20°32′＝25°28′.
要点三　角的平分线
定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
如图所示，BD是∠ABC的平分线，则有∠1＝∠2＝∠ABC或∠ABC＝2∠1＝2∠2，反过来，由∠1＝∠2＝∠ABC或∠ABC＝2∠1＝2∠2可知，射线BD是∠ABC的平分线．
经典例题3　如图，∠AOB＝42°，∠BOC＝86°，OD为∠AOC的平分线．求∠BOD的度数．
解：因为∠AOB＝42°，∠BOC＝86°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝42°＋86°＝128°.
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠AOC＝×128°＝64°.
所以∠BOD＝∠AOD－∠AOB＝64°－42°＝22°.
易错易混警示　求两角的和与差时，因考虑不全面而漏解
有些题目没有给出图形，应全面考虑角的不同位置，通过画出的图形，对问题进行分类讨论，从而避免漏解．
经典例题4　已知∠AOB＝20°，∠BOC＝30°，求∠AOC.
解：如图所示，有两种情况．
第(1)种情况：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°；
第(2)种情况：∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝10°.
点拨：此类问题易忽视角的不同位置(∠AOB可能在∠BOC的外部，也可能在其内部)而造成误解．平时应逐步培养自己严密的思维习惯，考虑问题要全面．
当 堂 检 测
1. 已知∠1是锐角，∠2是钝角，∠3是直角，则∠1，∠2，∠3的大小关系是(　　)
A. ∠1>∠2>∠3 B. ∠2>∠1>∠3
C. ∠3>∠2>∠1 D. ∠2>∠3>∠1
2. 如图所示，点O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，若∠AOD＝55°，则∠BOC等于(　　)
A. 85° B. 80° C. 70° D. 65°
3. 已知射线OA，OB，OC，能确定OC是∠AOB的平分线的是(　　)
A. ∠AOC＝∠BOC＝∠AOB B. ∠AOB＝2∠AOC
C. ∠BOC＝∠AOB D. ∠AOC＝∠AOB
4. 如图，∠AOC＝ ＋ ＝ － ；∠BOC＝ － ＝ － .

第4题 第5题
5. 如图，已知OB是∠AOD的平分线，则：
(1)∠AOD＝2∠ ＝2∠ ，∠AOD＝∠ ＝∠ .
(2)∠BOC＝∠AOC＋∠BOD－∠ .
6. 比较两个角的大小，有以下两种方法(规则).
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；
②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.构造图形时，作示意图(草图)即可.
7. 如图所示，∠AOB∶∠BOC＝1∶2，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，∠DOE＝40°，求∠BOC的度数.

8. 如图，∠AOD＝120°，∠2＝2∠1＝60°，求：
(1)∠DOC的度数；
(2)∠BOD的度数.

当堂检测参考答案
1. D 2. C 3. A
4. ∠AOB ∠BOC ∠AOD ∠COD ∠BOD ∠COD ∠AOC ∠AOB
5. (1)AOB BOD AOB BOD (2)AOD
6. 解：第一种方法：用量角器度量∠ABC＝50°，∠DEC＝70°，即∠DEF>∠ABC.第二种方法：如图，
把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF>∠ABC.
7. 解：设∠AOB＝α°，则∠BOC＝2α°，因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠DOB＝()°.又因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝(α)°，所以∠DOE＝∠AOE－∠AOD＝α°＝40°，所以∠BOC＝2α°＝80°.
8. 解：(1)因为∠AOD＝120°，∠2＝60°，所以∠DOC＝∠AOD－∠2＝120°－60°＝60°.　
(2)因为2∠1＝60°，所以∠1＝30°，又因为∠AOD＝120°，所以∠BOD＝∠AOD＋∠1＝150°.