3.3.1函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数
项目 内容
课题 （共 2 课时） 修改与创新
教学 目标 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次。
教学重、难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学 准备 多媒体课件
教学过程 一、导入新课：函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二、讲授新课：1．问题：图3. 3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： 运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，． 从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 3．求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析 例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因为，所以， 因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减； 函数的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为，所以， 因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为，所以 ． 当，即 时，函数 ； 当，即 时，函数 ； 函数的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练 例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”， 在或内的图像“平缓”．例4．求证：函数在区间内是减函数． 证明：因为 当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤： （1）求导函数； （2）判断在内的符号； （3）做出结论：为增函数，为减函数．例5．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围． 解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得： 所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′ =1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx2．课本 练习 课堂小结：（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性 布置作业： P98 1,2
板书设计 3.3.1函数的单调性与导数1.函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 2.求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．例1、例2、例3、 例4、例5、例6
教学反思 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的． 利用导数分析函数的单调性是非常有效的方法，因此，教师应结合图像，分析单调性与导数的关系，得出由导函数的正负判断函数的单调性。在得出结论后要用一定量的例题和学习，使学生熟练掌握这一结论和求解步骤。