高中数学 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.2椭圆及其标准方程 (共23张PPT)

(共23张PPT)
椭圆及其标准方程
思考1：
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在黑板的同一点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是?
思考2：
如把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
笔尖滑动画椭圆的过程中

（1）笔尖与两定点距离和有无变化？

（2）当两定点固定，对绳长有无要求?
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
1、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；
2、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
3、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
O
X
Y
F1
F2
M
如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
两边同时除以a2b2得：
(a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程，
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
O
X
Y
F1
F2
M
(0,-c)
(0 , c)
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一条轴上。
椭圆的标准方程

定 义
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a
小 结：
判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，
并指明a2、b2，写出焦点坐标。
答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
应用举例
应用举例
a>3
0例1、填空：
(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则 F2CD的周长为________
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
例题讲解
(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则 F1PF2的周长为___________
2
1
(0,-1)、(0,1)
2
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为____________
（2）满足a=4,c= ，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为____________
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），
椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；
变式：两个焦点的距离等于8，椭圆上的一点P到两焦
点距离的和等于10.
例4：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
解：由 4x2+ky2=1,可得
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以
即：0所以k的取值范围为0三、小 结：
1、椭圆的定义



2、两种标准方程的比较
3、在求椭圆方程时，要弄清焦点
在哪个轴上，是x轴还是y轴？
或者两个轴都有可能？
四、布置作业：
P42 练习:1、3 P57 习题: 1、2
课时作业
动画演示
再 见