高中数学选修2-3第2章 概率 章末总结

章末总结
知识点一　条件概率
在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择恰当的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．
例1　坛子里放着7个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
知识点二　独立事件的概率
1．互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解．
2．特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．
(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．
例2　已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
知识点三　n次独立重复试验与二项分布
事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算及二项分布的应用是高考重点考查的内容，在解答题中多与随机变量的分布列、均值综合考查．解题时应注意：恰有k次发生和指定k次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为Cpk(1－p)n－k，后者的概率为pk(1－p)n－k.
例3　某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1)该公司的资助总额为零的概率；
(2)该公司的资助总额超过15万元的概率．
知识点四　期望与方差
求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．
例4　某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．
(1)求该单位代表队答对此题的概率．
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望．(精确到1分)
例5　设在10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，记X表示每次取出的次品件数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的期望和方差．
知识点五　正态分布
正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．
例6　设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X章末总结
答案
重点解读
例1　解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42.
根据分步乘法计数原理n(A)＝A×A＝24.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝24，
所以P(B|A)＝＝＝.
例2　解　设“臭皮匠老大、老二、老三解出问题”分别为事件A、B、C，
则三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
1－P(··)＝1－(1－0.5)(1－0.45)(1－0.4)
＝0.835>0.8，
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮．
例3　解　(1)设A表示资助总额为零这个事件，则
P(A)＝6＝.
(2)设B表示资助总额超过15万元这个事件，B1、B2、B3分别表示资助总额为20万元、25万元、30万元这三个事件，
则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)
＝C()4(1－)2＋C()5(1－)＋C()6
＝15×6＋6×6＋6＝.
例4　解　(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A、B、C，由已知，
P(A)＝，[1－P(A)][1－P(C)]＝，
∴P(C)＝.
又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.
∴该单位代表队答对此题的概率
P＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，
则ξ～B(10，)，
∴E(ξ)＝10×＝(分)．
而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，
∴E(η)＝30E(ξ)－100＝≈184(分)．
例5　解　(1)X的可能取值为0,1,2,3.
X＝0，表示取出的5件产品全是正品．
P(X＝0)＝＝；
X＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品．
P(X＝1)＝＝；
X＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品．
P(X＝2)＝＝；
X＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品．
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝.
例6　
解　由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X∴c＝2.