高中数学人教A版必修三课件 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 :28张PPT
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版必修三课件 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 :28张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 333.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-23 12:21:00 | ||
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文档简介
课件28张PPT。第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法一、辗转相除法
1.在小学时,我们利用找公约数的方法来求两个正整数的最大公约数.你能利用这种方法求出36与60的最大公约数是多少吗?
提示首先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于2.如果两个正整数的公约数比较大,并且根据我们的观察又不能一下子得到它们的公约数,我们又该如何求出它们的最大公约数?比如,怎样求出8 251与6 105的最大公约数?观察等式8 251=6 105×1+2 146,你发现8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系?
提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公约数相等.重复上述操作,你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗?
提示8 251=6 105×1+2 146,
6 105=2 146×2+1 813,
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4+0.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也是8 251与6 105的最大公约数.4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 5.做一做1:判断题
辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数. ( )
答案:√6.做一做2:求667与928的最大公约数.
解:928=667×1+261,667=261×2+145,
261=145×1+116,145=116×1+29,
116=29×4,
所以667与928的最大公约数是29.二、更相减损术
1.设两个不都是偶数的正整数m,n(m>n),若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少?
提示98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98与63的最大公约数为7.2.填空:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.其算法步骤如下:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 3.做一做3:判断题
用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法的次数是3. ( )
答案:×
4.做一做4:更相减损术可解决下列问题中的( )
A.求两个正整数的最大公约数
B.求多项式的值
C.进位制的转化计算
D.排序问题
解析:更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.
答案:A5.做一做5:342与589的最大公约数为 .?
解析:589-342=247,342-247=95,
247-95=152,152-95=57,
95-57=38,57-38=19,38-19=19.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19三、秦九韶算法
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次.
2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少.
提示乘法运算4次,加法运算5次.3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 4.做一做6:判断题
(1)用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6. ( )
(2)利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5当x=2时的值时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4. ( )
答案:(1)√ (2)√5.做一做7:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值v2= .?
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6;
v2=6×3+1=19.
答案:19探究一探究二思维辨析例1 求下列两数的最大公约数:
(1)228与2 223;
(2)612与468.
分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468相差较小,用更相减损术求最大公约数.
解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
2 223=228×9+171,
228=171×1+57,
171=57×3.
所以228和2 223的最大公约数为57.求两个正整数的最大公约数 当堂检测探究一探究二思维辨析(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数,需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算.
153-117=36,
117-36=81,
81-36=45,
45-36=9,
36-9=27,
27-9=18,
18-9=9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟 1.求两个正整数的最大公约数,可以用辗转相除法,也可以用更相减损术.用辗转相除法,即根据a=nb+r这个式子,反复相除,直到r=0为止;用更相减损术,即根据r=|a-b|这个式子,反复相减,直到r=0为止.
2.求三个正整数的最大公约数,可以先求其中两个正整数的最大公约数,然后求第三个正整数与前两个正整数的最大公约数的最大公约数.
3.求多个正整数的最大公约数,可以将所求的整数分成两两一组,然后分别求每组的最大公约数,再求解由各组的最大公约数构成的新的数组的最大公约数即可.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究1【例1】中的(1)若添加一个数133,即求228、2 223与133的最大公约数.
分析由【例1】已经求出228与2 223的最大公约数m,则只需求出m与133的最大公约数即可.
解由【例1】可知,228与2 223的最大公约数为57.
所以57与133的最大公约数就是这三个数的最大公约数.
方法一(辗转相除法)显然133=57×2+19;
57=19×3.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.
方法二(更相减损术)133-57=76,
76-57=19,
57-19=38,
38-19=19.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究2【例1】中的(2)改为求这两个数的最小公倍数呢?
解由【例1】可知,612与468的最大公约数为36.当堂检测探究一探究二思维辨析求多项式的值
例2 用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值.
分析首先将多项式化为多个一次式复合的形式,然后从内到外逐层求解.
解f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.
当x=-2时,有v0=1;
v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3;
v2=v1x+a3=3×(-2)+10=4;
v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2;
v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1;
v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1.
故f(-2)=-1.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟1.利用秦九韶算法计算多项式的值的步骤 2.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练已知f(x)=x5+x3+x2+x+1,则f(3)的值为 .?
解析:原多项式可化为f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1;v1=1×3+0=3;v2=3×3+1=10;v3=10×3+1=31;v4=31×3+1=94;v5=94×3+1=283.所以f(3)的值为283.
答案:283当堂检测探究一探究二思维辨析用更相减损术求最大公约数时忽略乘约简数而致错
典例用更相减损术求612和468的最大公约数.
错解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得157和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:
153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9.
错因分析利用更相减损术求两个正整数的最大公约数时,需要先判断这两个数是否都是偶数,如果是偶数,用2约分化简,直到两个数不都是偶数为止,然后按照更相减损术的定义进行计算.注意求最大公约数时一定不要忘记乘前面步骤中被约掉的数.当堂检测探究一探究二思维辨析正解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得153和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9,从而612和468的最大公约数为9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练50与70的最大公约数为 .?
解析:因为50和70均为偶数,所以用2约分化简,得25和35.
35-25=10,25-10=5,10-5=5,
所以25和35的最大公约数为5.
从而50与70的最大公约数为2×5=10.
答案:10当堂检测1.下列说法中正确的个数为( )
①辗转相除法也叫欧几里得算法;
②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数;
③求最大公约数的方法,除辗转相除法之外,没有其他方法;
④编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①②④正确,③错误.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测2.用更相减损术求123和48的最大公约数是( )
A.3 B.7 C.9 D.12
解析:123-48=75,75-48=27,48-27=21,27-21=6,21-6=15,15-6=9,9-6=3,6-3=3,所以123和48的最大公约数是3.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测3.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值,v4的值为( )
A.-57 B.220
C.-845 D.3 392
解析:由秦九韶算法有v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.
答案:B探究一探究二思维辨析当堂检测4.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是 .?
解析:多项式变形为
f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1
=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,
v0=3,
v1=3×(-4)+12=0,
v2=0×(-4)+6=6,
v3=6×(-4)+10=-14,
v4=-14×(-4)-8=48,
所以v4最大,v3最小,
所以v4-v3=48+14=62.
答案:62
1.在小学时,我们利用找公约数的方法来求两个正整数的最大公约数.你能利用这种方法求出36与60的最大公约数是多少吗?
提示首先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于2.如果两个正整数的公约数比较大,并且根据我们的观察又不能一下子得到它们的公约数,我们又该如何求出它们的最大公约数?比如,怎样求出8 251与6 105的最大公约数?观察等式8 251=6 105×1+2 146,你发现8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系?
提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公约数相等.重复上述操作,你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗?
提示8 251=6 105×1+2 146,
6 105=2 146×2+1 813,
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4+0.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也是8 251与6 105的最大公约数.4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 5.做一做1:判断题
辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数. ( )
答案:√6.做一做2:求667与928的最大公约数.
解:928=667×1+261,667=261×2+145,
261=145×1+116,145=116×1+29,
116=29×4,
所以667与928的最大公约数是29.二、更相减损术
1.设两个不都是偶数的正整数m,n(m>n),若m-n=k,则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与63的最大公约数是多少?
提示98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98与63的最大公约数为7.2.填空:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.其算法步骤如下:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 3.做一做3:判断题
用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法的次数是3. ( )
答案:×
4.做一做4:更相减损术可解决下列问题中的( )
A.求两个正整数的最大公约数
B.求多项式的值
C.进位制的转化计算
D.排序问题
解析:更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.
答案:A5.做一做5:342与589的最大公约数为 .?
解析:589-342=247,342-247=95,
247-95=152,152-95=57,
95-57=38,57-38=19,38-19=19.
所以342与589的最大公约数为19.
答案:19三、秦九韶算法
1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少?
提示乘法运算10次,加法运算5次.
2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少.
提示乘法运算4次,加法运算5次.3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0
=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 4.做一做6:判断题
(1)用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6. ( )
(2)利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5当x=2时的值时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4. ( )
答案:(1)√ (2)√5.做一做7:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值v2= .?
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6;
v2=6×3+1=19.
答案:19探究一探究二思维辨析例1 求下列两数的最大公约数:
(1)228与2 223;
(2)612与468.
分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468相差较小,用更相减损术求最大公约数.
解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
2 223=228×9+171,
228=171×1+57,
171=57×3.
所以228和2 223的最大公约数为57.求两个正整数的最大公约数 当堂检测探究一探究二思维辨析(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数,需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算.
153-117=36,
117-36=81,
81-36=45,
45-36=9,
36-9=27,
27-9=18,
18-9=9.
所以612和468的最大公约数是9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟 1.求两个正整数的最大公约数,可以用辗转相除法,也可以用更相减损术.用辗转相除法,即根据a=nb+r这个式子,反复相除,直到r=0为止;用更相减损术,即根据r=|a-b|这个式子,反复相减,直到r=0为止.
2.求三个正整数的最大公约数,可以先求其中两个正整数的最大公约数,然后求第三个正整数与前两个正整数的最大公约数的最大公约数.
3.求多个正整数的最大公约数,可以将所求的整数分成两两一组,然后分别求每组的最大公约数,再求解由各组的最大公约数构成的新的数组的最大公约数即可.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究1【例1】中的(1)若添加一个数133,即求228、2 223与133的最大公约数.
分析由【例1】已经求出228与2 223的最大公约数m,则只需求出m与133的最大公约数即可.
解由【例1】可知,228与2 223的最大公约数为57.
所以57与133的最大公约数就是这三个数的最大公约数.
方法一(辗转相除法)显然133=57×2+19;
57=19×3.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.
方法二(更相减损术)133-57=76,
76-57=19,
57-19=38,
38-19=19.
所以57与133的最大公约数是19,即这三个数的最大公约数是19.当堂检测探究一探究二思维辨析互动探究2【例1】中的(2)改为求这两个数的最小公倍数呢?
解由【例1】可知,612与468的最大公约数为36.当堂检测探究一探究二思维辨析求多项式的值
例2 用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值.
分析首先将多项式化为多个一次式复合的形式,然后从内到外逐层求解.
解f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.
当x=-2时,有v0=1;
v1=v0x+a4=1×(-2)+5=3;
v2=v1x+a3=3×(-2)+10=4;
v3=v2x+a2=4×(-2)+10=2;
v4=v3x+a1=2×(-2)+5=1;
v5=v4x+a0=1×(-2)+1=-1.
故f(-2)=-1.当堂检测探究一探究二思维辨析反思感悟1.利用秦九韶算法计算多项式的值的步骤 2.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练已知f(x)=x5+x3+x2+x+1,则f(3)的值为 .?
解析:原多项式可化为f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时,v0=1;v1=1×3+0=3;v2=3×3+1=10;v3=10×3+1=31;v4=31×3+1=94;v5=94×3+1=283.所以f(3)的值为283.
答案:283当堂检测探究一探究二思维辨析用更相减损术求最大公约数时忽略乘约简数而致错
典例用更相减损术求612和468的最大公约数.
错解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得157和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:
153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9.
错因分析利用更相减损术求两个正整数的最大公约数时,需要先判断这两个数是否都是偶数,如果是偶数,用2约分化简,直到两个数不都是偶数为止,然后按照更相减损术的定义进行计算.注意求最大公约数时一定不要忘记乘前面步骤中被约掉的数.当堂检测探究一探究二思维辨析正解因为612和468都为偶数,所以两次用2约分化简,得153和117.用更相减损术求153和117的最大公约数,步骤如下:153-117=36,117-36=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以153与117的最大公约数为9,从而612和468的最大公约数为9×2×2=36.当堂检测探究一探究二思维辨析变式训练50与70的最大公约数为 .?
解析:因为50和70均为偶数,所以用2约分化简,得25和35.
35-25=10,25-10=5,10-5=5,
所以25和35的最大公约数为5.
从而50与70的最大公约数为2×5=10.
答案:10当堂检测1.下列说法中正确的个数为( )
①辗转相除法也叫欧几里得算法;
②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数;
③求最大公约数的方法,除辗转相除法之外,没有其他方法;
④编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①②④正确,③错误.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测2.用更相减损术求123和48的最大公约数是( )
A.3 B.7 C.9 D.12
解析:123-48=75,75-48=27,48-27=21,27-21=6,21-6=15,15-6=9,9-6=3,6-3=3,所以123和48的最大公约数是3.
答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测3.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值,v4的值为( )
A.-57 B.220
C.-845 D.3 392
解析:由秦九韶算法有v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.
答案:B探究一探究二思维辨析当堂检测4.用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时,v0,v1,v2,v3,v4中最大值与最小值的差是 .?
解析:多项式变形为
f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1
=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1,
v0=3,
v1=3×(-4)+12=0,
v2=0×(-4)+6=6,
v3=6×(-4)+10=-14,
v4=-14×(-4)-8=48,
所以v4最大,v3最小,
所以v4-v3=48+14=62.
答案:62