高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列1.2.1.2 等差数列:24张PPT

课件24张PPT。第2课时　等差数列的性质及应用1.等差数列与一次函数的关系
(1)若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d
=nd+(a1-d).
①点(n,an)在直线y=dx+(a1-d)上;
②这些点的横坐标每增加1,函数值增加 d.
(2)公差d与等差数列增减性的关系:
①当d>0时,{an}是递增数列;
②当d<0时,{an}是递减数列;
③当d=0时,{an}是常数列,不是递增数列,也不是递减数列.
【做一做1】已知数列{an}的通项公式an=-2n+5,则此数列的公差d=　　　　　.?
解析:由an=-2n+5=-2(n-1)+3,得公差d=-2.
答案:-22.等差中项
(1)如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.
(2)如果A是a与b的等差中项,那么
【做一做2】若m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是　　　　　.?答案:3 3.等差数列的性质
(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq;
(2)在等差数列{an}中,若m+n=2t(m,n,t∈N+),则am+an=2at;
(3)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…(n,i∈N+);
(4)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列;
(5)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列;
(6)若数列{bn}也为等差数列,则{kan+mbn+b}(k,m,b为常数)也是等差数列.【做一做3】在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于(　　)?
A.40 B.42 C.43 D.45
解析:由已知得a4+a5+a6=3a5,
又由a1=2,a2+a3=13,得出an=3n-1,
∴a4+a5+a6=3×(3×5-1)=42.
答案:B思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数. (　　)
(2)a,b,c成等差数列与2b=a+c是等价的. (　　)
(3)若数列{an}是等差数列,则{nan}也是等差数列. (　　)
(4)若数列{an}是等差数列,则{pan+q}(其中p,q为非零常数)也是等差数列. (　　)
(5)若数列{an}中任意相邻三项an-1,an,an+1(n≥2)满足2an=an-1+an+1,则数列{an}为等差数列. (　　)
(6)若等差数列{an}中四项am,an,ap,aq(其中m,n,p,q∈N+)满足关系am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q成立. (　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×探究一探究二探究三思想方法分析:将已知条件转化,利用等差中项法证明{an}为等差数列.
证明:∵对任意n∈N+,都有上式等号两边同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2.③
同理可得a1=nan-(n-1)an+1,④
③-④得2nan+1=n(an+2+an),
即an+2-an+1=an+1-an,∴{an}为等差数列.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.涉及等差数列中相邻三项的问题,均可用等差中项方法求解,即若a,b,c成等差数列,则必有2b=a+c.
2.证明等差数列时,如果定义法不适用,那么可考虑利用等差中项法,即若{an}满足2an=an-1+an+1(n∈N+,n≥2),则{an}就是等差数列.探究一探究二探究三思想方法 变式训练1　若四个非零实数a,x,b,2x成等差数列,试求 的值.?
解:∵a,x,b,2x成等差数列,∴x是a与b的等差中项,b是x与2x的等差中项.探究一探究二探究三思想方法
【例2】(1)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=210,则a2+a10=　　　　　.?
(2)已知数列{an}为等差数列,且满足a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77,ak=13,求k的值.
(1)答案:60
(2)解:因为a4+a10=2a7,a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11
=a8+a10=2a9,探究一探究二探究三思想方法反思感悟等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,k∈N+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.探究一探究二探究三思想方法变式训练2　已知{an}为等差数列,若a15=8,a60=20,求a75.?
解:∵{an}为等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列,
设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项.
∴a60=a15+3d,∴d=4.∴a75=a60+d=24.探究一探究二探究三思想方法
【例3】 某市2016年年底机动车保有量为150万辆,据统计,该市机动车保有量每年将比上一年增加8万辆.据此计算至哪一年年底,该市机动车保有量将超过200万辆?
分析:依题意每年机动车保有量构成等差数列,故可建立等差数列模型求解.
解:依题意知,从2016年年底开始,每年的机动车保有量依次构成首项为150,公差为8的等差数列.
因此设an=a1+(n-1)d=150+8(n-1)=8n+142.
令an=8n+142>200,解得 ,应取n=8.
因为2 016+8-1=2 023,
所以至2023年年底,该市机动车保有量将超过200万辆.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.解答数列应用题的基本步骤是:
(1)审题,要仔细阅读材料,认真理解题意;
(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;
(3)判型,即分清该数列是否为等差数列;
(4)求解,即求出该问题的数学解;
(5)还原,即将所求结果还原到应用题中.
2.本例中要注意的是2016年年底的保有量为{an}的首项a1,因此{an}的第八项应为2023年年底,别误认为2024年年底的保有量.探究一探究二探究三思想方法 变式训练3　有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的,第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢?由999只蝴蝶组成的雕塑是第几个呢??
解:从第一个雕塑的蝴蝶数一直延伸下去,所有的蝴蝶数看成一个数列{an},由题意知是等差数列,则a1=3,a2=5,得d=2,若n=102,由通项公式an=a1+(n-1)d,得a102=3+2(102-1)=205;由3+2(n-1)=999,解得n=499.所以第102个雕塑是由205只蝴蝶组成,由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个.探究一探究二探究三思想方法利用数列的对称性解题
【典例】已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
分析:要求四个数,只需根据条件列出方程组即可,可根据四个数成等差数列灵活设出.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,探究一探究二探究三思想方法方法点睛本题巧妙地运用数列的对称性质将所求四项设为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样使运算量大大减少.如果将此四个数设为a,a+d,a+2d,a+3d,那么将使计算难度增加.因此解决此类问题,一定要充分利用数列本身的特征性质,还要注意题干中的限制条件,比如该数列为递增数列,如果忽视这一条件,那么将会出现增解.探究一探究二探究三思想方法变式训练　公差为-2的等差数列{an}中,若a1+a4+a7+…+a16
=498,则a3+a6+a9+…+a18=(　　)?
A.486 B.474 C.462 D.426
解析:∵(a3+a6+a9+…+a18)-(a1+a4+a7+…+a16)=2d×6=-24,
∴a3+a6+a9+…+a18=498-24=474.
答案:B12345答案:B123452.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.
答案:B123453.在等差数列{an}中,若a6+a7+a8=33,则a1+a3+a11+a13=　　　　　.?
解析:因为a6+a8=2a7,所以3a7=33,解得a7=11.
故a1+a3+a11+a13=(a1+a13)+(a3+a11)=2a7+2a7=4a7=44.
答案:44123454.在-8和10之间插入a1,a2,a3三个数,使这5个数成等差数列,则a2=　　　　　.?答案:1 12345