高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列1.3.1.1 等比数列 :27张PPT

课件27张PPT。§3　等比数列3.1　等比数列第1课时　等比数列的定义和通项公式1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
【做一做1】下列数列为等比数列的是(　　)?答案:B 2.等比数列的通项公式
设等比数列的首项为a1,公比为q,an为它的通项,
则an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
【做一做2】已知{an}为等比数列,a1=12,a2=24,则a3=(　　)?
A.36 B.48 C.60 D.72
答案:B知识拓展等比数列通项公式的其他推导方法
方法一(不完全归纳法):由等比数列的定义可知,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…
由此猜测an=a1qn-1.
当n=1时,上面的等式两边均为a1,所以等式也成立.
这就是说,当n∈N+时,an=a1qn-1总成立.
注意以上过程不是证明,我们以后可用数学归纳法来完成证明.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)数列x,x2,x3,x4,…是等比数列. (　　)
(2)在数列{an}中,若a7>0且公比q<0,则a2 017>0. (　　)
(3)常数列一定是等比数列. (　　)
(4)等比数列中可以存在为0的项. (　　)
(5)不存在既是等差数列又是等比数列的数列. (　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×探究一探究二探究三思维辨析
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3an+1(n∈N+),求证:{an}为等比数列,并求出其通项公式.
分析:条件中提供了Sn与an的关系式,可先根据an=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn,得到an与an-1的关系式,再用定义证明.
证明:因为Sn=3an+1,所以当n≥2时有Sn-1=3an-1+1,
两式相减得an=3an-3an-1,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.证明一个数列{an}是等比数列,主要根据等比数列的定义,证明 (n∈N+)是一个与n无关的非零常数.
2.判断一个数列{an}是否为等比数列,还可通过通项公式的形式an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0)来进行判断.
3.一般地,当数列{an}满足Sn=pan+q(p≠1,q≠0)时,{an}为等比数列.探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1　(1)下列数列为等比数列的个数为(　　)?
①5,5,5,5,5　②0,1,4,16,64　③1,-1,1,-1,1　
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知数列{an}的前n项和为
①求a1,a2;
②求证:数列{an}是等比数列.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析【例2】在等比数列{an}中,
(1)若a4=27,q=-3,求a7;
(2)若a2=18,a4=8,求a1和q;
(3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
分析:由已知条件列出关于a1,q的方程(或方程组),或有关量的方程(或方程组).探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟通项公式中含有四个量,即a1,q,n,an,若知道其中的三个,就可以求出另一个.a1,q是等比数列的基本量,在解答等比数列通项公式有关问题时,常转化为关于a1,q的方程组,这是解决数列问题的基本方法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2　已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求{an}的通项公式.?
解:设等比数列{an}的公比为q,且q≠0,探究一探究二探究三思维辨析答案:C 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟对于等比数列与等差数列的综合问题,一般先根据它们的定义与通项公式,建立基本量的方程组求得基本量的值,再解决其他问题.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3　在数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,那么a1,a3,a5(　　)?
A.成等比数列
B.成等差数列
C.每项的倒数成等差数列
D.每项的倒数成等比数列
解析:∵a1,a2,a3成等差数列,∴2a2=a1+a3.∴a1,a3,a5成等比数列.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析忽视q>0这一隐含条件而致误
【典例】若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q=　　　　　.?
错解:由题意知a1a2=16,a2a3=162,
?
所以q=±4.
正解:在错解基础上再补充以下说明即可.
因为在此等比数列中隐含相邻的项同号,所以q>0.
因此q=-4(舍去),故所求q的值为4.
答案:4探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本题造成错误的根源是没有利用a1a2=16与a2a3=162得出数列中的项为同号这一隐含信息,因此在处理等比数列的项或公比问题时,一定要注意数列的首项及公比的正负情况,总之要养成检验意识.探究一探究二探究三思维辨析变式训练在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于(　　)
A.189 B.84 C.72 D.33
解析:因为a1=3,a1+a2+a3=21,
所以a1(1+q+q2)=21?1+q+q2=7?q=2或q=-3(舍去),所以a3+a4+a5=a1(q2+q3+q4)=3×(22+23+24)=84.
答案:B12341.观察下面几个数列,其中一定是等比数列的是(　　)解析:A选项不符合等比数列的定义,故不是等比数列;B选项不一定是等比数列,当数列只有三项时,它是等比数列;当数列多于3项时,
不一定也等于2,故它不一定是等比数列;C选项不是等比数列,n不是定值;D选项是等比数列,满足等比数列的定义.故选D.
答案:D12342.在等比数列{an}中,若a2 015=8a2 018,则公比q的值为(　　)解析:由已知得a1q2 014=8a1q2 017,所以
答案:C12343.在等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则a6=　　　　.?
解析:∵ ,∴q=2,a6=a1q5=1×25=32.
答案:3212344.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　　.?