高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列1.3.2 等比数列的前n项和 :29张PPT

课件29张PPT。3.2　等比数列的前n项和1.等比数列的前n项和公式
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
当q=1时,Sn=na1;【做一做1】已知等比数列{an}的首项为2,公比为-1,则数列{an}的前99项之和是　　　　　.?答案:2 2.等比数列前n项和的性质
(1)Sn+m=Sn+qnSm;
(2)在等比数列中,若项数为2n(n∈N+),则
(3)当q=-1,且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列;
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.【做一做2】　 解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.答案:B 知识拓展等比数列前n项和公式的推导
推导前n项和公式的方法,除了教材上提供的错位相减法,还有以下几种方法.
当q=1时,数列{an}变为a1,a1,a1,…,a1,…,易得它的前n项和Sn=na1.
(2)(拆项法):由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+a3+…+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上.
(3)(累加法):an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+a1(q-1)+a2(q-1)+…+an-1(q-1)=a1+(a1+a2+…+an-1)(q-1)=a1+(Sn-an)(q-1),整理,得(1-q)Sn=a1-anq.结论同上.3.乘公比错位相减法求和
课本上推导等比数列前n项和的方法,即错位相减法,它解决的主要求和问题是:如果数列{an}和{bn}分别是等差和等比数列,求数列{an·bn}的前n项和.
求和过程如下:设数列{an·bn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的公差是d,等比数列{bn}的公比是q,则有Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,
qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+anb1qn,
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.【做一做3】3·2-1+4·2-2+5·2-3+…+(n+2)·2-n=　　　　　　　.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. (　　)
(2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为 . (　　)
(3)若等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+t,则t=-1. (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√探究一探究二探究三思维辨析
【例1】 (1){an}为等比数列,若a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5;
(2)在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,其前n项和为Sn,Sn=126,求n和q.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.在等比数列的前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn这五个量,已知其中任何三个量,都可以求其余两个量.
2.求解等比数列的计算问题,多采用基本量方法,即建立关于a1和q的方程(组),求得a1与q后再解决其他问题.
3.应用等比数列前n项和公式时,必须注意q=1与q≠1这两种情况.
4.在等比数列的前n项和Sn中,当n值较小时,可直接用a1+a2+…+an来表示Sn,如S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1　 探究一探究二探究三思维辨析【例2】 (1)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　;?
(2)在等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则S4=　　　　　.?
分析:(1)先分别求出奇数项的和与偶数项的和,再运用性质求解;(2)根据S2,S4-S2,S6-S4成等比数列求解.探究一探究二探究三思维辨析(2)由等比数列前n项和性质,得
S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
∴有(S4-S2)2=S2(S6-S4),
即(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28(负值舍去).
答案:(1)2　(2)28探究一探究二探究三思维辨析反思感悟应用等比数列前n项和的性质可以避免烦琐的计算,使解题过程简化,常用的前n项和的性质是:
(2)在等比数列{an}中,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.运用此性质时,注意各项非零的要求及下标和差的构造.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2　已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=16,则S8=(　　)?
A.160 B.64 C.-64 D.-160
解析:由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,
又S2=4,S4=16,故S4-S2=12,所以公比为3,
由等比数列可得S6-S4=36,S8-S6=108,
解得S6=52,S8=160,故选A.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N+.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,
a1=3也符合上式,
所以an=4n-1,n∈N+.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+,
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,
2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)·2n-[3+4×(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)·2n+5.
故Tn=(4n-5)·2n+5,n∈N+.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用乘公比错位相减法.
2.乘公比错位相减法的步骤如下.
(1)作和:Sn=a1b1+a2b2+…+anbn.
(2)乘公比:qSn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.
(3)相减:(1-q)Sn=a1b1+(a2-a1)b2+…+(an-an-1)bn-anbn+1.
(4)化简求得Sn.
3.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式,并且要注意两式相减时式子的第一项和最后一项以及符号、项数等.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3　求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)·an-1 (a≠0)的前n项和.?探究一探究二探究三思维辨析因忽视公式的应用条件而出错
典例在等比数列{an}中,若S3=3a3,求其公比q.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得由于等比数列中公比q不确定,因此需要对q进行分类讨论.本题的错误就在于直接应用了q≠1时的公式,虽然最后的结果是正确的,但解题过程错误.探究一探究二探究三思维辨析变式训练　等比数列{an}的前n项和为Sn,若5S1=S2+S3,且S4=10,则an=　　　　　　　　　　　　　.?123451.等比数列2,4,8,16,…的前n项和为(　　)
A.2n+1-1 B.2n-2 C.2n D.2n+1-2
解析:由题意知,a1=2,q=2,则
答案:D123452.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比和项数分别为(　　)
A.8,2 B.2,4 C.4,10 D.2,8
解析:
∴2n=256=162=28,
∴n=8.
答案:D12345123454.在等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S10=48,S20=60,则S30=　　　　　.?
解析:因为{an}是等比数列,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,即48,12,S30-60满足122=48(S30-60),解得S30=63.
答案:63123455.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+b,且a1=3.
(1)求a,b的值及数列{an}的通项公式;
(2)设 ,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1·a,而{an}为等比数列,所以an=2n-1·a,
所以a1=21-1·a=a=3,从而an=3·2n-1.
又因为a1=2a+b=3,所以b=-3.