高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列1.3.1.2等比数列的性质及应用 :32张PPT

课件32张PPT。第2课时　等比数列的性质及应用1.等比数列的函数特性
(1)等比数列与指数函数的关系(2)等比数列的单调性 【做一做1】下列数列是递减数列的是　　　　　.(填序号)?解析:①中a1=4>0,00,q=4>1,是递增数列;④中a1=-4,q= ,是递增数列.故只有①是递减数列.
答案:①2.等比中项
(1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么称 G为a,b的等比中项.
(2)如果G是a与b的等比中项,那么G2=ab,即G=
【做一做2】已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数成等比数列,则所加的这个数为　　　　.
解析:∵d=a2-a1=-6-(-8)=2,
∴a4=-8+3×2=-2,a5=-8+4×2=0,设所加的这个数为x,
则(-2+x)2=(-8+x)×(0+x),解得x=-1,
经验证:x=-1符合题意,
∴x=-1.
答案:-13.等比数列的常用性质
(1)在等比数列中,下标成等差数列的项构成等比数列.
(2)如果数列{an}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列【做一做3】已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5的值等于(　　)?
A.5 B.10 C.15 D.20
答案:A思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果数列{an}是等比数列,那么 是等比数列. (　　)
(2)如果数列{lg an}是等差数列,那么{an}是等比数列. (　　)
(3)如果数列{an}是等比数列,那么{nan}是等比数列. (　　)
(4)若数列{an}是等比数列,则{lg an}是等差数列. (　　)
(5)在等比数列{an}中,若am·an=aq·ap(m,n,q,p∈N+),则m+n=p+q一定成立. (　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×探究一探究二探究三探究四思想方法
【例1】 已知数列{an}的图像是函数f(x)=k·ax(a>0,且a≠1)图像上一群孤立的点,且点 是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的增减性.
分析:先根据两点坐标求出f(x)的解析式即得通项公式,再通过通项公式判断增减性.探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟等比数列与指数函数有密切的联系,等比数列的图像是函数f(x)=c·qx图像上一群孤立的点,其单调性与函数f(x)=c·qx的单调性一致.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1　下列数列中,是递减数列的是(　　)?答案:D 探究一探究二探究三探究四思想方法
【例2】 等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
分析:根据已知条件,可得到关于首项a1和公比q的方程组,求出a1和q后问题可解.
解:设该等比数列的公比为q,首项为a1.探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.当a,b同号且ab≠0时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
2.“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,同时还要注意到“a,G,b成等比数列”探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练2　已知a,b,c,d成等比数列,求证:ab,bc,cd也成等比数列.?
证明:因为a,b,c,d成等比数列,所以b是a与c的等比中项.所以b2=ac,同理c2=bd.
于是(bc)2=b2c2=ac·bd=ab·cd,
即bc是ab与cd的等比中项.
故ab,bc,cd也成等比数列.探究一探究二探究三探究四思想方法
【例3】在等比数列{an}中,
(1)若an>0,a4a8=4,a6a10+a3a5=41,求a4+a8;
(2)若an>0,a1a2a3=5,a7a8a9=10,求a4a5a6.
分析:利用等比数列{an}的性质:若m+n=p+q,
则aman=apaq(m,n,p,q∈N+)来处理.
特别地,若m+n=2k,则aman=探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟等比数列的性质,是等比数列自身本质特性的结论化描述,在求解数列题目时正确应用这些结论,可简化解题过程,从而提高解题速度和准确性.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3　 答案:C
(2)解:由等比数列的性质可知,a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9.
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2a3…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.探究一探究二探究三探究四思想方法【例4】(1)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N+,则S10的值为　　　　　.?
(2)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
①求{an}的通项公式;
②等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.探究一探究二探究三探究四思想方法(1)答案:110
(2)解:①因为an+1=2Sn+1,①
所以an=2Sn-1+1(n≥2).②
①②两式相减得an+1-an=2an,
即an+1=3an(n≥2),
又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.
②设{bn}的公差为d,由T3=15得,b1+b2+b3=15,可得b2=5,
故b1=5-d,b3=5+d,
又因为a1=1,a2=3,a3=9,并且a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,
所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,解得d1=2,d2=-10.
因为等差数列{bn}的各项为正,
所以d>0.所以d=2.探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.
(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并用好方程这一工具.
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.探究一探究二探究三探究四思想方法化归思想在等比数列中的应用 探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法探究一探究二探究三探究四思想方法方法点睛等差、等比数列是两个重要数列模型,在涉及证明、求解一些问题时,要注意朝着等差或等比数列这一结构去构造.从而达到间接解决的目的.在本题的解答中,要特别关注n的取值范围,否则会出现解题漏洞,如例中n≥2时推出4an+2+an=4an+1,还要验证4a3+a1=4a2,总之这一题型充分运用了化归与转化的思想,从而使问题得解.探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练　 12345答案:D123452.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　)
A.81 B.27 C.3 D.243
答案:A123453.在等比数列{an}中,若a2=5,a6=10,则a10=　　　　　.?答案:20 12345答案:216 12345