高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列本章整合1 :55张PPT
文档属性
| 名称 | 高中数学北师大版必修五课件 第一章 数列本章整合1 :55张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-23 12:30:34 | ||
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文档简介
课件55张PPT。本章整合专题一专题二专题一 数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法.专题一专题二1.观察法
已知数列前若干项,求该数列的通项公式时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式.
【例1】写出下列两个数列的一个通项公式:解:(1)这是一个分数数列,分子是偶数,而分母是1×3,3×5,
5×7,7×9,9×11,…,为两个连续奇数的乘积.
故所求数列的通项公式为
(2)各项分别加上2,变为10,100,1 000,10 000,…,
∴an=10n-2.专题一专题二变式训练1 写出下列数列的一个通项公式.?专题一专题二解:(1)数列可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以数列的一个通项公式为an=2n+1.专题一专题二专题一专题二2.根据an与Sn的关系求通项公式法
(1)若已知Sn的表达式,则可直接利用 求得an,注意对n=1与n≥2的讨论.
(2)若已知Sn与an的关系式,则可根据an=Sn-Sn-1消去Sn(或an),得到an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系式,然后用其他方法求解.专题一专题二专题一专题二变式训练2 已知数列{an}的前n项和Sn=3-2an(n∈N+),求通项公式an.?
解:因为Sn=3-2an,
所以当n≥2时,Sn-1=3-2an-1.
两式相减得an=-2an+2an-1,专题一专题二3.累加法
对于形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式.
(1)当f(n)=d为常数时,{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d;
(2)当f(n)为关于n的函数时,用叠加法.
方法如下:由an+1-an=f(n),得
当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
an-1-an-2=f(n-2),
……
a3-a2=f(2),
a2-a1=f(1).
以上(n-1)个等式叠加,得
an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1),
∴an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二为了书写方便,也可以用横式来写:
∵当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二【例3】已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.
解:由an+1-an=3n-n,
得an-an-1=3n-1-(n-1),
an-1-an-2=3n-2-(n-2),
……
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1.
当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],专题一专题二专题一专题二变式训练3 专题一专题二专题一专题二专题一专题二变式训练4 专题一专题二5.构造辅助数列法
(1)取倒数构造法专题一专题二变式训练5 专题一专题二(2)加常数构造法
对于满足an=pan-1+q型的数列{an},可利用待定系数法将其变形为an+λ=p(an-1+λ),再设an+λ=bn,则{bn}即为以b1=a1+λ为首项,p为公比的等比数列,求出{bn}的通项公式后即得an.专题一专题二(3)其他构造法
例7已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n,a1=2,求{an}的通项公式.专题一专题二变式训练6 专题一专题二专题二 数列求和的常用方法
数列求和是数列部分的重要内容,也是高考的重要考点之一.对于数列求和问题,一般是先观察数列的特点和规律,如果通项公式能够求出,那么可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法.下面介绍几种常用的求和方法.专题一专题二1.公式法
公式法是数列求和的最常用方法之一,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式,也可利用常见的求前n项和的公式,如:解:∵数列{an}的前n项和为Sn=2n-1,
∴{an}为等比数列.
∵a1=S1=21-1=1,a2=S2-S1=3-1=2,
∴数列{an}的公比q=2.专题一专题二变式训练7 求数列{n(n+1)}的前n项和Sn.?
解:设an=n(n+1)=n2+n,
则Sn=a1+a2+…+an
=(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)
=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)专题一专题二2.裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,对于分式的求和多利用此法.解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去的项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.
例9已知数列{an}的通项公式为 ,求其前n项和Tn.专题一专题二变式训练8 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,
{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.?
(1)求an与bn;解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则d为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.专题一专题二专题一专题二3.错位相减法
若在数列{an·bn}中,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则可采用错位相减法求和.例10求和: 专题一专题二变式训练9 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N+)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.?解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N+),
?
所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,
相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.专题一专题二4.并项转化法
对于形如{(-1)nan}(其中{an}为等差数列)的数列,通常将数列中相邻的两项合并,再进行求解,注意对项数n分奇数和偶数进行讨论.
例11已知Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1),求Sn.
解:当n为奇数时,
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)专题一专题二变式训练10 数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,
…的前n项和为 .?
解析:∵此数列的第n项为1+2+22+…+2n-1=2n-1,
?
答案:2n+1-n-2专题一专题二5.分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}均是等差数列或等比数列等一些可以直接求和的数列.专题一专题二例12在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.专题一专题二 变式训练11 等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的前n项和.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q.考点1考点2考点3考点4考点1 等差数列
1.(2016全国乙高考)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
解析:(方法一)设等差数列{an}的公差为d,答案:C 2.(2016北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .?
解析:∵{an}是等差数列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.
∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.
∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.
答案:6
3.(2016江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
若 ,S5=10,则a9的值是 .?
解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+3×6=20.
答案:20考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点2 等比数列
4.(2016四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
解析:设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,
由已知得130×(1+12%)n>200,答案:B 考点1考点2考点3考点45.(2016浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,
an+1=2Sn+1,n∈N+,则a1= ,S5= .?
解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,
所以a1=1,a2=3.
再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),
得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).
又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.答案:1 121 考点1考点2考点3考点46.(2016全国丙高考)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明:{an}是等比数列,并求其通项公式;考点1考点2考点3考点4考点3 数列的综合应用
7.(2015课标全国Ⅱ高考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故
答案:A
8.(2015课标全国Ⅱ高考)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,
an+1=SnSn+1,则Sn= .?考点1考点2考点3考点49.(2017全国1高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考点1考点2考点3考点410.(2017全国2高考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.
解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.考点1考点2考点3考点411.(2017全国3高考)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点412.(2016全国甲高考)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
解:(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.考点1考点2考点3考点413.(2016全国乙高考)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1, ,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.考点1考点2考点3考点414.(2016浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,
an+1=2Sn+1,n∈N+.
(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点3考点4考点1考点2考点4 数列探究题型
16.(2014课标全国Ⅰ高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.考点3考点4考点1考点217.(2016江苏高考)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N+)和U的子集T,若T=?,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义
例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N+)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求证:ST(3)设C?U,D?U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD.
(1)解:由已知得an=a1·3n-1,n∈N+.
于是当T={2,4}时,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.
又ST=30,故30a1=30,即a1=1.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N+.
(2)证明:因为T?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N+,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1
因此,ST①若D是C的子集,则SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.
②若C是D的子集,则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.
③若D不是C的子集,且C不是D的子集.
令E=C∩?UD,F=D∩?UC,则E≠?,F≠?,E∩F=?.
于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由SC≥SD得SE≥SF.
设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.
由(2)知,SE于是3l-1=al≤SF≤SE所以l-1又k≠l,故l≤k-1.考点3考点4考点1考点2从而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1
?
故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,
即SC+SC∩D≥2SD+1.
综上①②③得,SC+SC∩D≥2SD.
数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法.专题一专题二1.观察法
已知数列前若干项,求该数列的通项公式时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项公式.
【例1】写出下列两个数列的一个通项公式:解:(1)这是一个分数数列,分子是偶数,而分母是1×3,3×5,
5×7,7×9,9×11,…,为两个连续奇数的乘积.
故所求数列的通项公式为
(2)各项分别加上2,变为10,100,1 000,10 000,…,
∴an=10n-2.专题一专题二变式训练1 写出下列数列的一个通项公式.?专题一专题二解:(1)数列可记为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以数列的一个通项公式为an=2n+1.专题一专题二专题一专题二2.根据an与Sn的关系求通项公式法
(1)若已知Sn的表达式,则可直接利用 求得an,注意对n=1与n≥2的讨论.
(2)若已知Sn与an的关系式,则可根据an=Sn-Sn-1消去Sn(或an),得到an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系式,然后用其他方法求解.专题一专题二专题一专题二变式训练2 已知数列{an}的前n项和Sn=3-2an(n∈N+),求通项公式an.?
解:因为Sn=3-2an,
所以当n≥2时,Sn-1=3-2an-1.
两式相减得an=-2an+2an-1,专题一专题二3.累加法
对于形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式.
(1)当f(n)=d为常数时,{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d;
(2)当f(n)为关于n的函数时,用叠加法.
方法如下:由an+1-an=f(n),得
当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
an-1-an-2=f(n-2),
……
a3-a2=f(2),
a2-a1=f(1).
以上(n-1)个等式叠加,得
an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1),
∴an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二为了书写方便,也可以用横式来写:
∵当n≥2时,an-an-1=f(n-1),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.专题一专题二【例3】已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.
解:由an+1-an=3n-n,
得an-an-1=3n-1-(n-1),
an-1-an-2=3n-2-(n-2),
……
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1.
当n≥2时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)
=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1],专题一专题二专题一专题二变式训练3 专题一专题二专题一专题二专题一专题二变式训练4 专题一专题二5.构造辅助数列法
(1)取倒数构造法专题一专题二变式训练5 专题一专题二(2)加常数构造法
对于满足an=pan-1+q型的数列{an},可利用待定系数法将其变形为an+λ=p(an-1+λ),再设an+λ=bn,则{bn}即为以b1=a1+λ为首项,p为公比的等比数列,求出{bn}的通项公式后即得an.专题一专题二(3)其他构造法
例7已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n,a1=2,求{an}的通项公式.专题一专题二变式训练6 专题一专题二专题二 数列求和的常用方法
数列求和是数列部分的重要内容,也是高考的重要考点之一.对于数列求和问题,一般是先观察数列的特点和规律,如果通项公式能够求出,那么可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法.下面介绍几种常用的求和方法.专题一专题二1.公式法
公式法是数列求和的最常用方法之一,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式,也可利用常见的求前n项和的公式,如:解:∵数列{an}的前n项和为Sn=2n-1,
∴{an}为等比数列.
∵a1=S1=21-1=1,a2=S2-S1=3-1=2,
∴数列{an}的公比q=2.专题一专题二变式训练7 求数列{n(n+1)}的前n项和Sn.?
解:设an=n(n+1)=n2+n,
则Sn=a1+a2+…+an
=(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)
=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)专题一专题二2.裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,对于分式的求和多利用此法.解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去的项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.
例9已知数列{an}的通项公式为 ,求其前n项和Tn.专题一专题二变式训练8 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,
{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.?
(1)求an与bn;解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则d为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.专题一专题二专题一专题二3.错位相减法
若在数列{an·bn}中,{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则可采用错位相减法求和.例10求和: 专题一专题二变式训练9 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N+)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.?解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N+),
?
所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,
相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.专题一专题二4.并项转化法
对于形如{(-1)nan}(其中{an}为等差数列)的数列,通常将数列中相邻的两项合并,再进行求解,注意对项数n分奇数和偶数进行讨论.
例11已知Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1),求Sn.
解:当n为奇数时,
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)专题一专题二变式训练10 数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,
…的前n项和为 .?
解析:∵此数列的第n项为1+2+22+…+2n-1=2n-1,
?
答案:2n+1-n-2专题一专题二5.分组求和法
分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}均是等差数列或等比数列等一些可以直接求和的数列.专题一专题二例12在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.专题一专题二 变式训练11 等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的前n项和.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q.考点1考点2考点3考点4考点1 等差数列
1.(2016全国乙高考)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
解析:(方法一)设等差数列{an}的公差为d,答案:C 2.(2016北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .?
解析:∵{an}是等差数列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.
∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.
∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.
答案:6
3.(2016江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
若 ,S5=10,则a9的值是 .?
解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+3×6=20.
答案:20考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点2 等比数列
4.(2016四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( )
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
解析:设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,
由已知得130×(1+12%)n>200,答案:B 考点1考点2考点3考点45.(2016浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,
an+1=2Sn+1,n∈N+,则a1= ,S5= .?
解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,
所以a1=1,a2=3.
再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),
得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).
又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.答案:1 121 考点1考点2考点3考点46.(2016全国丙高考)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明:{an}是等比数列,并求其通项公式;考点1考点2考点3考点4考点3 数列的综合应用
7.(2015课标全国Ⅱ高考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故
答案:A
8.(2015课标全国Ⅱ高考)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,
an+1=SnSn+1,则Sn= .?考点1考点2考点3考点49.(2017全国1高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考点1考点2考点3考点410.(2017全国2高考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.
解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.考点1考点2考点3考点411.(2017全国3高考)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点412.(2016全国甲高考)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
解:(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.考点1考点2考点3考点413.(2016全国乙高考)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1, ,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.考点1考点2考点3考点414.(2016浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,
an+1=2Sn+1,n∈N+.
(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.考点1考点2考点3考点4考点1考点2考点3考点4考点3考点4考点1考点2考点4 数列探究题型
16.(2014课标全国Ⅰ高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.考点3考点4考点1考点217.(2016江苏高考)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N+)和U的子集T,若T=?,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义
例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N+)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求证:ST
(1)解:由已知得an=a1·3n-1,n∈N+.
于是当T={2,4}时,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.
又ST=30,故30a1=30,即a1=1.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N+.
(2)证明:因为T?{1,2,…,k},an=3n-1>0,n∈N+,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1
因此,ST
②若C是D的子集,则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.
③若D不是C的子集,且C不是D的子集.
令E=C∩?UD,F=D∩?UC,则E≠?,F≠?,E∩F=?.
于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由SC≥SD得SE≥SF.
设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.
由(2)知,SE
?
故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,
即SC+SC∩D≥2SD+1.
综上①②③得,SC+SC∩D≥2SD.