2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示第二课时集合的表示课件新人教A版必修1:36张PPT

课件36张PPT。第二课时　集合的表示[目标导航]新知导学·素养养成1.列举法
列举法:把集合的元素 出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法.一一列举思考1:用列举法表示集合应注意什么?答案:在用列举法表示集合时应注意:
(1)元素间用分隔号“,”;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;(4)列举法可表示有限集,也可以表示无限集.2.描述法
用集合所含元素的 表示集合的方法.共同特征思考2:我们知道,R表示全体实数集合,那么R={全体实数集}={R}={x|x∈
R}是否正确?答案:不正确,由于R表示全体实数构成的集合,而“{　}”这个符号已经含有“所有”的含义了,如果将全体实数集表示为{全体实数集}就是重复表述,应改为{实数},而{R}表示只含有实数集的集合,它也可以理解为该集合只有一个元素;因此R≠{R}.而{x|x∈R}表示全体实数构成的集合,因此R={x|x∈R},但表述不如R简单,因此表示实数集时常用R而不用
{x|x∈R}.思考3:集合A={x|x>2}与B={t|t>2}是否表示同一个集合?答案:是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于2的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.思考4:用描述法表示集合应注意什么?答案:用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号;
(2)说明该集合中元素的性质;
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内;
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I是x的范围,“p(x)”是集合中元素x的共同特征,竖线不可省略,也不能出现未被说明的字母.名师点津集合两种表示方法的区别与联系:
由于集合的两种常用表示法中列举法可以看清集合的元素,描述法可以看清集合元素的特征.因此在表示集合时,要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式,当集合中元素个数较少或集合中元素呈现一定的规律性时,一般采用列举法;当集合中元素的共同特征简明清晰且易于表述时,常采用描述法.大多数集合既可用列举法表示,也可用描述法表示,两种方法可用
表格对比如下:从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找.课堂探究·素养提升题型一　列举法表示集合的理解[例1] 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,
那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,
那么B={0,1}.(3)不等式5x-3<3x+7的解集中的正整数组成的集合;
(4)两边分别在坐标轴的负半轴上,且边长为1的正方形的顶点构成的
集合.解:(3)不等式5x-3<3x+7的解为x<5.其中正整数为1,2,3,4,所以不等式的解集中的正整数组成的集合C={1,2,3,4}.
(4)因为正方形的两边在坐标轴的负半轴上,所以正方形的四个顶点分别为(0,0),(0,-1),(-1,0),(-1,-1),故正方形的顶点的集合D={(0,0),
(0,-1),(-1,0),(-1,-1)}.方法技巧(1)使用列举法表示集合时,首先要根据集合中元素的特征求出集合中的元素,然后将元素一一列举出来(注意,相同元素只出现一次),然后用花括号“{　}”括起来.
(2)使用列举法表示集合时,要注意集合中元素的形式,如本题中的(2)中集合中的元素是数,而(4)中集合的元素则是点.即时训练1-1:用列举法表示下列集合.
(1)若x∈N,y∈N,则直线x+y=3上的点构成的集合A;
(2)方程(x+1)(x2-49)=0的解构成的集合B;(2)因为方程(x+1)(x2-49)=0的解是x=-1或x=-7或x=7,
所以集合B={-7,-1,7}.(3)一次函数y=x+1与y=-x+3的交点构成的集合C;
(4)x2-4的一次因式组成的集合.(4)因为x2-4=(x+2)(x-2),
所以集合D={x+2,x-2}.题型二　描述法表示集合的理解[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数组成的集合;解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集合可表示为{x|x=2n,n∈N*}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+
2,n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合;
(4)一次函数y=2x+1图象上所有点的纵坐标构成的集合.解:(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
(4)一次函数y=2x+1图象上点的坐标为(x,y),而图象上所有点的纵坐标为y,因此一次函数y=2x+1图象上所有点的纵坐标构成的集合为
{y|y=2x+1}.一题多变:(1)写出所有大于4的偶数组成的集合;
(2)写出所有被3除余2的偶数组成的集合;
(3)写出坐标平面内第一象限点的集合以及y轴右侧的点的集合;解:(1)所有大于4的偶数构成的集合为A={x|x=2n,n∈Z且n>2}.
(2)所有被3除余2的偶数构成的集合B={x|x=3n+2,n为偶数}或B={x|x=
3n+2,n=2k,k∈Z}.
(3)坐标平面内第一象限点的集合为C1={(x,y)|x>0,y>0};y轴右侧点的集合为C2={(x,y)|x>0}.(4)分别写出一次函数y=2x+1图象上所有点的横坐标、图象上所有点的坐标、图象上去掉点(1,3),(5,11)后的点构成的集合”.解:(4)一次函数y=2x+1图象上所有点的横坐标构成的集合为D1=
{x|y=2x+1};一次函数y=2x+1的图象上所有点构成的集合D2={(x,
y)|y=2x+1};一次函数 y=2x+1图象上去掉点(1,3),(5,11)后的点构成的集合D3={(x,y)|y=2x+1,x≠1且x≠5}.方法技巧用描述法表示集合时首先要明确集合的代表元素是数集、点集还是其他元素,明确集合中元素的形式后,再将集合中所有元素的公共特征写在竖线的右边.[备用例1] 用描述法表示下列集合.(1)三角形的全体构成的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合;
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.解:(1){x|x是三角形}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的最小公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}.题型三　集合表示方法的应用方法技巧本题所给两个集合虽然形式上有相似之处,但由于代表元素的不同,集合M是求x的值,而集合N是在x∈N的限制之下,求8的正约数构成的集合.另外,将用描述法表示的集合用列举法表示时,要注意集合中代表元素为数集时的限制,如本题中,要注意x∈Z与x∈N的不同.解析:答案:②⑤(2)自然数的平方组成的集合;
(3)一个数的平方等于其本身构成的集合.解:(2)自然数的平方用列举法表示为{0,12,22,32,…},
也可以用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.
(3)一个数的平方等于其本身用描述法表示为{x|x2=x},也可以用列举法表示为{0,1}.题型四　易错辨析[例4] 集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的值为(　　)
(A)0 (B)1
(C)2 (D)0或2错解:因为集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,所以方程mx2-4x+
2=0只有一个根,所以Δ=16-8m=0,所以m=2.故选C.纠错:由于方程mx2-4x+2=0不一定是二次方程,因此要对m的取值进行讨论.学霸经验分享区(1)集合表示的要求:
①根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则;
②一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
(2)在用描述法表示集合时应注意:
①弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式;②元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.如P={x|y=x+
1},Q={y|y=3x},虽然两集合代表元素与元素属性不相同,但两集合都表示R.课堂达标C1.下列语句:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4正确的是(　 　)
(A)只有①和④ (B)只有②和③
(C)只有② (D)以上语句都不对解析:①错误,③由集合中元素的互异性知错误,④集合是无限集,不能列举,故错误,只有②正确.B2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为(　 　)
(A){1,1} (B){1}
(C){x=1} (D){x2-2x+1=0}解析:方程x2-2x+1=0可化简为(x-1)2=0,
所以x1=x2=1,故方程x2-2x+1=0的解集为{1}.C3.集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20 cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈
Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为(　 　)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:集合A为列举法,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中集合B省略了代表元素和竖线.D4.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是(　 　)
(A)6∈A (B)0∈A
(C)3?A (D)3.5?A解析:集合A用列举法表示为{1,2,3,4,5},因此选D.5.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示B,则集合B中元素有　　　　个.?解析:由于集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},
因此当t=-2,2,3,4时,x=4,4,9,16,
即集合B={4,9,16}.答案:3