2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小）值第二课时函数的最大（小）值课件新人教A版必修1:45张PPT

课件45张PPT。第二课时　函数的最大(小)值[目标导航]新知导学·素养养成1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈I,使得 .
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标.思考1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.≤f(x0)=M高纵2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足;
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈I,使得 .
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.思考2:已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?
答案:如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).≥f(x0)=M低纵思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域.
(2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在.
(3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.名师点津关于函数最值的说明
(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.课堂探究·素养提升(2)求函数f(x)在[1,4]上的最值.方法技巧利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写出函数的最值.(2)求f(x)在区间[2,5]上的最值.②求函数f(x)在[3,5]上的值域.②对于①中的函数在区间A上的值域是[4,5],求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点);
③若①中的函数的定义域是[2,+∞),解不等式f(a2-a)≥f(2a+4).解:作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.
当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.方法技巧(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)的一个.
(2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值.即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数 f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数f(x)的单调区间;解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x≥0)且y=x-1(x<0),
所以函数图象如图所示,
因此函数值域为{y|y≤3}.
题型三　二次函数的最值
[例3] 已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域.
(1)[-1,1];解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
所以函数f(x)在(-∞,2]上是减函数,
在[2,+∞)上是增函数.
(1)因为x∈[-1,1],
所以f(x)在[-1,1]上是减函数,
又f(-1)=8,f(1)=0,
所以函数f(x)在[-1,1]上的值域为[0,8].(2)[-2,3]; 解:(2)因为x∈[-2,3],且f(x)的对称轴方程是x=2,
所以当x∈[-2,2]时,函数f(x)是减函数,
此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(-2)},
即{y|-1≤y≤15}.
当x∈[2,3]时,函数f(x)是增函数,
此时函数的值域为{y|f(2)≤y≤f(3)},
即{y|-1≤y≤0}.
所以x∈[-2,3]时,函数的值域为{y|-1≤y≤15}.(3)[0,a].解:(3)因为f(x)的对称轴方程是x=2,
所以当a≤2时,函数f(x)在[0,a]上是减函数,
此时函数的值域为{y|f(a)≤y≤f(0)},
即[a2-4a+3,3],
当2最大值为f(0)=3,此时函数的值域为[-1,3].
当a>4时,函数在x=2处取得最小值,最大值为f(a),
故函数的值域为[-1,a2-4a+3].一题多变:(1)求f(x)=x2-4x+3在[-2,7]和[3,7]上的值域;解:(1)由本例题(2)的解答知,x∈[-2,2]时,函数f(x)是减函数,当x∈[2,7]时,函数f(x)是增函数,且f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24,
所以x∈[-2,7]时,函数的值域为[-1,24].
又因为x∈[3,7],所以f(x)在[3,7]上是增函数,
因为f(3)=0,f(7)=24,
所以函数的值域为[0,24].
故当x∈[-2,7]时,函数值域为[-1,24],
当x∈[3,7]时,函数值域为[0,24].(2)求函数f(x)=x2-4x+3在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值g(t)与最小值h(t);解:(2)由f(x)=(x-2)2-1知,
当t+1≤2时,即t≤1时,函数f(x)=x2-4x+3,
在[t,t+1]上是减函数,最大值为g(t)=f(t)=t2-4t+3,
最小值为h(t)=f(t+1)=(t-1)2-1=t2-2t,
当t≥2时,函数f(x)=x2-4x+3在[t,t+1]上是增函数,
最大值为g(t)=f(t+1)=t2-2t,
最小值为h(t)=f(t)=t2-4t+3,
当t<2在[t,t+1]上的最小值为h(t)=f(2)=-1.(3)若将函数f(x)=x2-4x+3变为“f(x)=x2-2ax+3”,求函数f(x)在区间
[-1,1]上的最小值.方法技巧求解给定区间的二次函数最值问题,应根据二次函数的对称轴确定所求区间上的最值,此类问题主要有以下两种情况:①当所给区间不包含对称轴时,函数在所给区间上是严格单调函数,利用函数的单调性可求值域;②当所给区间包含对称轴时,若开口向上,则在对称轴处取最小值(若开口向下,则在对称轴处取最大值),而另一个最值则在离对称轴较远处的区间端点取到.[备用例3] (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0).
①若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0,求f(x)的表达式;解:(1)①因为f(x)=ax2+bx+1(a>0)且f(-1)=0,
所以f(-1)=a-b+1=0,所以b=a+1.
又因为f(x)≥0,且a>0,开口向上,
所以函数图象与x轴有一个交点或没有交点,
所以Δ=(a+1)2-4a≤0,即(a-1)2≤0,
所以a-1=0,所以a=1,
所以f(x)=x2+2x+1.②在①的条件下,当x∈[-2,2]时,设g(x)=f(x)-kx,求g(x)的最小值.(2)若函数f(x)=x2-2x+4-m在区间[0,3]上恒有f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.解:(2)因为f(x)=x2-2x+4-m≤0在区间[0,3]上恒成立,
所以m≥x2-2x+4在[0,3]上的最大值,
记h(x)=x2-2x+4,
则h(x)在[0,3]上的最大值为h(3)=7.所以m≥7.(3)已知二次函数y=-x2+2ax+(a-2)在x∈[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解:(3)y=-x2+2ax+(a-2)=-(x-a)2+a2+a-2.
①若a∈[-1,2],则当x=a时,ymax=a2+a-2.
由题意知a2+a-2=4,
即a2+a-6=0,得a=-3或a=2.
因为a∈[-1,2],所以a=2符合条件.②若a<-1,因为二次函数y=f(x)在[a,+∞)上单调递减,
即在[-1,2]上单调递减,
所以当x=-1时,ymax=-1-2a+a-2=-a-3.
由-a-3=4,得a=-7(小于-1),
所以a=-7符合条件.③若a>2,则二次函数y=f(x)在[-1,2]上单调递增,
所以当x=2时,ymax=-4+4a+a-2=5a-6.
由5a-6=4,得a=2(不大于2),
所以此时不存在符合条件的a.
综上,符合条件的a的值为2或-7.题型四　易错辨析
[例4] 函数f(x)=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为(　　)
(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)0错解:由于f(x)=ax+1在[1,2]上的最大值是2a+1,最小值是a+1,
所以(2a+1)-(a+1)=2.故a=2,选A.
纠错:由于f(x)=ax+1中a的值不确定,因此要按a>0和a<0两种情况讨论,解法中忽视了对a的讨论.正解:当a>0时,(同错解)得a=2.
当a<0时,函数f(x)=ax+1在[1,2]上是减函数,最大值为f(1)=a+1,最小值为f(2)=2a+1,故(a+1)-(2a+1)=-a=2,此时a=-2.故选C.学霸经验分享区②若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得,即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).(2)二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出二次函数在给定区间上的图象,结合图象求最值,而对于含参数的二次函数在给定区间上的最值,应按二次函数的对称轴与区间的相对位置关系分类讨论(一般是按对称轴在区间两侧或对称轴在区间内分类讨论).课堂达标1.函数y=f(x)在区间[-3,3]上的图象如图所示,则此函数的最大、小值分别是(　 　)
(A)4,f(2)
(B)f(2),-3
(C)4,-3
(D)4,-4C2.已知函数f(x)=x2-2,其中x∈[0,2],这个函数的最大值和最小值分别为(　 　)
(A)-2和1 (B)2和-2
(C)2和-1 (D)-1和2B解析:当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-2,
当x=2时,f(x)有最大值f(2)=2.解析:因为x∈[1,2]时,f(x)max=2×2+6=10,
f(x)min=2×1+6=8;
x∈[-1,1]时,f(x)max=1+7=8,
f(x)min=-1+7=6,
所以f(x)max=10,f(x)min=6.A 5.已知函数f(x)=|x|,x∈[-3,2],则函数f(x)的最大值为　　　　.?解析:易知f(x)=|x|在[-3,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,又f(-3)>f(2),故f(x)=|x|在[-3,2]上的最大值为3.
答案:3