2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定课件新人教A版必修1:38张PPT

课件38张PPT。1.3.2　奇偶性
第一课时　函数奇偶性的定义与判定[目标导航]新知导学·素养养成1.奇函数、偶函数的定义
(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.任意f(-x)=f(x) 任意 f(-x)=-f(x) 思考1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点?
答案:定义域关于原点对称.
思考2:对于一个函数来说,它的奇偶性有哪些可能?
答案:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数.2.奇、偶函数的图象特征
若函数y=f(x)是偶函数,那么它的图象关于 对称;
若函数y=f(x)是奇函数,那么它的图象关于 对称.思考3:从函数图象看,奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致?
答案:奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反.
思考4:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a))是否在函数图象上?
答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.y轴原点名师点津(2)若一个函数是奇函数且在x=0处有定义,则有f(0)=0.(3)设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示:注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.(4)常见的函数(一次、二次、反比例函数)奇偶性如下表所示:课堂探究·素养提升题型一　函数奇偶性的判定
[例1] (12分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称. ……………… 1分
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), ………………………… 2分
因此函数f(x)是奇函数. …………………………………………3分(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), ……………… 7分
不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.………8分方法技巧根据函数解析式判断函数奇偶性的方法
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;
(3)结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;
(4)求f(-x);
(5)根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性;奇函数、偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集.解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).
②当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,
有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.[备用例1] 判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.解:函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.
当a=0时,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,函数既是奇函数又是偶函数.
当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).
此时函数为奇函数.
综上可知,当a=0时,函数既是奇函数又是偶函数,当a≠0时,函数是
奇函数.题型二　函数奇偶性的图象特征
[例2] (1)如图①是奇函数y=f(x)在x<0部分的局部图象.
请根据奇函数性质比较f(3)与f(5)的大小.解:(1)法一　根据奇函数图象关于原点对称的特征,作出奇函数在(0,+∞)部分图象如图③所示,由图可知f(3)>f(5).
法二　由函数的图象可知,函数y=f(x)在[-5,-3]上是减函数,由奇函数图象的性质可知,函数y=f(x)在[3,5]上是减函数,故f(3)>f(5).(2)如图②是偶函数y=g(x)在x>0部分的图象.
试根据图象写出不等式f(x)>0的解集.解:(2)根据偶函数y=g(x)的图象关于y轴对称的性质,作出函数y=g(x)在(-∞,0)上的图象如图④所示.由图象可知,f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).方法技巧求解与奇偶函数有关的图象问题,常借助奇偶函数图象的对称性,根据已知的函数部分图象作出函数的另一部分图象,根据图象直观研究函数性质.即时训练2-1:(1)已知奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间[-6,-1]上 f(x) 的最大值、最小值分别是(　　)
(A)-4,-10 (B)4,-10
(C)10,4 (D)不确定解析:(1)依题意,作出函数y=f(x)在[-6,-1]和[1,6]上的图象(草图),如图所示,易知函数y=f(x)在[-6,-1]上的最小值为f(-6)=-f(6)=-10,最大值为f(-1)=-f(1)=-4.因此选A.答案:(1)A(2)已知偶函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,不等式f(x)≤0的解集用区间表示为　　　　.?解析:(2)作出y=f(x)在[-6,0]上的图象,如图所示,由图可知,f(x)≤0的解集是[-3,3].答案:(2)[-3,3][备用例2] (1)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是(　　)
(A){x|-33}
(B){x|x<-3或0(C){x|x<-3或x>3}
(D){x|-30)关于原点的对称点为P'(x,f(x)),如图为补充后的图象,易知f(3)=-2.(3)如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并作出它位于y轴右侧的图象.解析:(3)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(x))(x>0)关于y轴的对称点为P'(x,f(x)),如图为补充后的图象.易知f(1)>f(3).题型三　利用函数奇偶性求参数
[例3] (1)若函数f(x)=x3+ax2+x是定义域为R的奇函数,则a的值为　　　　.?解析:(1)法一　因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
所以-x3+ax2-x=-(x3+ax2+x),
整理得2ax2=0.即a=0.
法二　因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
所以f(-1)=-f(1),
所以(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),所以a=0.答案:(1)0(2)若函数g(x)=(x-2)(x+b)是定义域为R的偶函数,则b的值为　　　　.答案:(2)2方法技巧利用函数奇偶性求参数的方法:
(1)定义域含参数,根据定义域关于坐标原点对称,列式求解.
(2)解析式含参数,根据f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)列式,整理化简求解.即时训练3-1:(1)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　.?解析:(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(3)=-f(-3).
又x<0时,f(x)=x2+ax,
所以f(-3)=9-3a.
又f(3)=6.所以f(-3)=-6.
所以9-3a=-6,所以a=5.答案:(1)5(2)(2019·山东烟台市高一上期中)已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3,
x∈[a-3,2a]是偶函数,则实数a=　　　　,b=　　　　.?解析:(2)因为f(x)是偶函数,
所以a-3+2a=0,即a=1.
由f(-1)=f(1),得b=2,
此时f(x)=x2+3是偶函数,
所以a=1,b=2.答案:(2)1　2(1)解析:因为f(x)是奇函数,
则f(-x)=-f(x).
又x≤0时,f(x)=3x2+2x,则-x>0,
此时f(-x)=ax2-bx.
故3x2+2x=-(ax2-bx).
所以a=-3,b=2.
所以2a+b=-4.
答案:-4学霸经验分享区(1)判断函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图象判断,考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提.
(2)分段函数奇偶性的判断方法
①一般用定义法分段处理.分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数.要特别注意:若x∈[a,b],-x∈[-b,-a],在求f(-x)时,需代入区间[-b,-a]对应的函数解析式.②分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断.如f(x)=x|x|可通过图象判断.
(3)应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式,要根据函数奇偶性的定义,利用f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)对函数值及函数解析式进行转换.而对于填空选择题,也可以利用定义域内的特殊值验证,如奇函数中当x=0有定义时f(0)=0等.课堂达标1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　 　)解析:只有B选项中的函数图象关于y轴对称,是偶函数图象.BD 解析:由于函数定义域为{x|x≥0},不关于原点对称,故是非奇非偶函数,选D.3.已知函数f(x)是奇函数,且定义域为R,当f(3)=-2时,f(-3)=　　　.解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(-3)=-f(3)=2.
答案:2解析:由题意知-3+a=0,
所以a=3.故f(3)=32+2=11.
答案:114.若函数f(x)=x2+2是定义在[-3,a]上的偶函数,则f(a)=　　　　.?解析:g(-3)=f(-3)=-f(3)=-32-3=-12.
答案:-12