第2章 §3 计算导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列结论中不正确的是( B )
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5
[解析] ∵()′＝(x－)′＝－ x－
∴y′|x＝2＝－.
故B错误．
2．若f(x)＝，则f′(－1)＝( D )
A．0 B．－
C．3 D．
[解析] ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝x－
∴f′(－1)＝(－1)－＝，∴选D.
3．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
[解析] f′(x)＝3x2，
∴3x2＝1，解得x＝±，
故存在两条切线，选B.
4．(2019·武汉期末)若f(x)＝x5，f ′(x0)＝20，则x0的值为( B )
A． B．±
C．－2 D．±2
[解析] 函数的导数f ′(x)＝5x4，
∵f ′(x0)＝20，
∴5x＝20，得x＝4，
则x0＝±，
故选B.
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( A )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y－3＝0
[解析] y′＝4x3，直线x＋4y－8＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为4.所以4x3＝4，解得x＝1.所以切点为(1,1)，切线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
6．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝1或－.
[解析] f′(x)＝－，
∴f′(a)＝－，∴f′(a)－f(a)＝－－，
∴＋＝2，解a＝1或－.
8．(2019·全国Ⅰ卷理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
[解析] y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴ 斜率k＝e0×3＝3，∴ 切线方程为y＝3x.
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．
[解析] 设被扰动水面的面积为S，时间为t，
依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( C )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
[解析] 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴ f′(π)＝－2，∴ 曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
故选C.
2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] ∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1，∴ f ′(0)＝1，
∴ 曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
二、填空题
3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.
[解析] ∵ y′＝(ax＋a＋1)ex，∴ 当x＝0时，y′＝a＋1，
∴ a＋1＝－2，得a＝－3.
4．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是21.
[解析] ∵y′＝2x，∴在点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答题
5．试比较曲线y＝x2与y＝在它们交点处的切线的倾斜角的大小．
[解析] 解方程组，得，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．
对于函数y＝x2，y′＝2x，所以曲线y＝x2在交点(1,1)处的切线l1的斜率k1＝2；对于函数y＝，y′＝－，所以曲线y＝在交点(1,1)处的切线l2的斜率k2＝－1.
由于k1>0，k2<0，所以切线l1的倾斜角小于切线l2的倾斜角．
6．(2018·全国卷Ⅲ文，21(1))已知函数f(x)＝.求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程．
[解析] f ′(x)＝，f ′(0)＝2.
因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是
2x－y－1＝0.
C级 能力拔高
求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解析] 解法1：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离d＝＝.
解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，
由得x2－x－m＝0.
∵直线l与抛物线y＝x2相切，
∴判别式Δ＝1＋4m＝0，∴m＝－，
∴直线l的方程为x－y－＝0，
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝＝.
解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|
＝(x－)2＋.
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
课件42张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §3 计算导数自主预习学案 凡事皆有规律，导数也不例外，导数应用很广泛，可
是用定义求导却比较复杂．本节将学习常用函数的导数公
式，熟记常用函数的导数公式，可以让我们在解决导数问
题时得心应手．导函数 2．常见函数的导数
导数公式表y′＝0 y′＝αxα－1 axlna ex cosx －sinx D [解析] 常数函数的导数为0.C A C 5．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是__________.
[解析] ∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，
∴y′|x＝1＝1，
∴切线的斜率为1，
故所求切线方程为y＝x－1.y＝x－1 互动探究学案 (1)(2019·临沂高二检测)下列结论：命题方向1 ?利用导数公式求函数的导数典例 1 B [思路分析] 利用常用函数的导数公式求导即可．『规律总结』 求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变化形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．命题方向2 ?利用导数求切线的斜率及方程典例 2 『规律总结』 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考查函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．〔跟踪练习2〕
已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，(1)求曲线在点P处的切线方程．
(2)求曲线过O(0,0)的切线．[思路分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．导数的应用 典例 3 『规律总结』 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程，而切线斜率易由导数求出．[解析] 设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为
f′(x0)＝4x0. 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f ′(2)＝12，
∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[辨析] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．不能正确理解切点的实质而致误 典例 4 [点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注．B B C 4．(2019·沈阳高二检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，求h′(1)的值．[解析] 由题图可知曲线的切线l经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，
即f ′(1)＝－1，且f(1)＝2，
因为h(x)＝xf(x)，所以h′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f ′(1)＝2－1＝1.课时作业学案
