第2章 §4 导数的四则运算法则
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( B )
A．e2 B．e
C． D．ln2
[解析] 因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2，
所以lnx0＝1，即x0＝e.故选B.
3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝.
则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
4．(2019·泉州高二检测)若f(x)＝sin－cosx，则f ′(α)等于( A )
A．sinα B．cosα
C．sin＋cosα D．cos＋sinα
[解析] ∵f(x)＝sin－cosx，
∴f ′(x)＝sinx，
∴f ′(α)＝sinα，故选A.
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是
( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝，故选A.
6．(2019·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f ′(x)的图像大致形状是( B )
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图像为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
二、填空题
7．(2019·衡水中学高二检测)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图像在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝－7.
[解析] 由题意得f(1)＝－2?a－2b＝－3，
又∵f ′(x)＝3x2＋a，∴f ′(1)＝3＋a，
∴f(x)的图像在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，
∴＝?a＝－，∴b＝，
∴3a＋2b＝－7.
8．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(1)的值为e.
[解析] ∵ f(x)＝exln x，
∴ f ′(x)＝exln x＋，
∴ f ′(1)＝e.
三、解答题
9．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excos x－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．
[解析] 因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
10．已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
[解析] 由于(－1，f(－1))在切线上，
∴－1＋2f(－1)＋5＝0，
∴f(－1)＝－2.∵f′(x)＝，
∴
解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
故f(x)＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( C )
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
[解析] ∵f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，
∴f ′(x)＝2f ′(e)＋，
∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，解得f ′(e)＝－，故选C.
2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为
( A )
A． B．π2
C．2π2 D．(2＋π)2
[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为.
二、填空题
3．(2019·杭州质检)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2·＝2·，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
4．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为(1,1)．
[解析] 设f(x)＝ex，则f ′(x)＝ex，所以f ′(0)＝1，因此曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1；设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝－，由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1，所以P(1,1)．故本题正确答案为(1,1)．
三、解答题
5．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？
[解析] (1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4，
∴ 切点为(1，－4)，y′＝12x3－6x2－18x，
∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.
(2)由
得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，
∴(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0，
∴x＝1，－2，.
代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4,32,0，
即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(，0).
∴除切点外，还有两个交点(－2,32)、(，0).
C级 能力拔高
已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f ′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f ′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，即b≥1，则f ′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x)min＝f ′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f ′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f ′(x)min＝f ′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
课件39张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §4 导数的四则运算法则自主预习学案
导数的四则运算1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f ′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f ′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.D D A 4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．2 D．4B互动探究学案 求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
[思路分析] 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不满足求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．命题方向1 ?利用求导公式和法则求导典例 1 (3)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
解法二：y＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.『规律总结』 通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决问题时做到举一反三，触类旁通．灵活运用导数的运算法则，求解结构复杂函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．
已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；综合应用问题 典例 2 [思路分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f ′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f ′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f ′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f ′(2)＝12＋a＝13, f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16；『规律总结』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．〔跟踪练习2〕
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，则a、b的值分别为__________.
(3)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f ′(x)为f(x)的导函数．若f ′(1)＝3，则a的值为__.－4,12 3 A ∴f ′(0)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－0)，
即x＋y－1＝0.
(2)由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①
又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
4x－y－3＝0，
∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0.②
由①、②解得a＝－4，b＝12.
(3)因为f ′(x)＝a(1＋ln x)，所以f ′(1)＝a＝3.不能正确应用导数的运算法则而致误 典例 3 [点评] 利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．例如本例可把商化成和差求导，这样容易计算．〔跟踪练习3〕
函数y＝sin2x的导数是( )
A．cos2x B．2cos2x
C．2cosx D．2sinx
[解析] y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′
＝2[cosx·cosx＋sinx·(－sinx)]
＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.
故选B.B 1．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)等于( )
A．2 B．－2
C．－4 D．0
[解析] f′(x)＝2x＋2f′(1)，于是f′(1)＝2＋2f′(1)，则f′(1)＝－2，
故得f′(x)＝2x－4，因此f′(0)＝－4.故选C.C 2．(2019·衡水高二检测)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
[解析] f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.D A 课时作业学案
