第2章 §5 简单复合函数的求导法则
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( B )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D．
[解析] y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
2．已知f(x)＝sin2x＋sinx，那么f′(x)( B )
A．是仅有最小值的奇函数
B．是既有最大值又有最小值的偶函数
C．是仅有最大值的偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析] f′(x)＝(sin2x＋sinx)′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx.
因为f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，又－1≤cosx≤1，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．
因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.
3．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )
A．2e B．e
C．2 D．1
[解析] 本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y＝ex－1＋
xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．
4．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于( B )
A．－3 B．3
C．－6 D．6
[解析] f′(x)＝－6sin(2x＋)，
∴f′()＝－6sin(π＋)＝6sin＝3.
5．函数y＝cos2x＋sin的导数为( A )
A．－2sin2x＋ B．2sin2x＋
C．－2sin2x＋ D．2sin2x－
[解析] y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.
二、填空题
6．(2019·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是2－1.
[解析] y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
7．(2018·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f ′(1)＝1＋.
[解析] f ′(lnx)＝1＋；∴f ′(lne)＝1＋；
即f ′(1)＝1＋.故答案为1＋.
8．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是y＝2x__.
[解析] 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝＋x，所以当x>0时，
f ′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x.
[解析] (1)引入中间变量u＝φ(x)＝3x，则函数y＝e3x是由函数f(u)＝eu与u＝φ(x)＝3x复合而成的．
查导数公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3.
根据复合函数求导法则可得
(e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x.
(2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x.
引入中间变量u＝φ(x)＝4x，则函数y＝cos4x是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝4x复合而成的．
查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4.
根据复合函数求导法则可得
(cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x.
10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－，ln2)处切线的倾斜角．
[解析] 令y＝lnu，u＝2x＋3，
则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝·2＝.
当x＝－时，y′＝＝1，即在点(－，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.
B级 素养提升
一、选择题
1．y＝log3cos2x的导数是( A )
A．－2log3e·tanx B．2log3e·cotx
C．－2log3cosx D．
[解析] y′＝log3e·(cos2x)′
＝log3e·2cosx·(cosx)′
＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.
2．已知f(x)＝x2＋2f′·x，则f′＝( A )
A. B．－
C．0 D．无法确定
[解析] ∵f(x)＝x2＋2f′·x，
∴f′(x)＝2x＋2f′，
∴f′＝2×＋2f′，
∴f′＝－2×＝，即f′＝.
二、填空题
3．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为2__.
[解析] ∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，
∴f′(1)＝＝1.
解得a＝2.
4．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是－3__.
[解析] 曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，
则4a＋＝－5①
又y′＝2ax－，所以4a－＝－②
由①②解得所以a＋b＝－3.
函数在某点处的导数值即为经过该点的切线的斜率．
三、解答题
5．求f(x)＝x2·e2x的导数．
[解析] f′(x)＝(x2)′e2x＋x2·(e2x)′
＝2xe2x＋x2·(e2x)·2
＝e2x(2x＋2x2)＝2x(1＋x)e2x.
6．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[解析] 函数y＝s(t)＝3sin(t＋π)是由函数f(x)＝3sinx和函数x＝φ(t)＝t＋复合而成的其中x是中间变量．由导数公式表可得f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝.
再由复合函数求导法则得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·＝cos(t＋)．
将t＝18时代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
C级 能力拔高
曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
[解析] ∵y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x(cos3x)′
＝2e2xcos3x－3e2xsin3x，
∴f′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋b(b≠1)．
由题意得＝，∴b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
课件39张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §5 简单复合函数的求导法则自主预习学案一个复杂事物的背后往往有一个简单的本质，之所以复杂，多是我们自己主观的把简单本质包裹起来，使清晰而简单的本质变得复杂难解．法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”．那么，对于复合函数求导，是否也有简单的方法呢？1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数为
y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．
说明：y′x表示y对x的导数．3．求复合函数导数的步骤
求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)；
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求f′(u)，再求φ′(x)；
(3)计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代回原自变量的函数．A 2．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．ex－y－2e＋1＝0 D．ex＋y＋2e－1＝0
[解析] y′＝2·e2x－4，
则当x＝2时，y′＝2·e0＝2，∴斜率为2.
又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，
∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.A 3．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为____.
[解析] f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.10 互动探究学案 求下列函数的导数：
[思路分析] 求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导．命题方向1 ?复合函数的求导典例 1 (3)y＝eu，u＝－ax2＋bx.
y′＝y′u·u′x
＝eu·(－ax2＋bx)′
＝eu·(－2ax＋b)
＝e－ax2＋bx(－2ax＋b)．『规律总结』 求复合函数的导数要处理好以下环节：
①中间变量的选择应是基本函数结构；
②关键是正确分析函数和复合层次；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
④善于把一部分表达式作为一个整体；
⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．〔跟踪练习1〕
求下列函数的导数： 巧用函数的求导法则减少运算量 典例 3 应用和、差、积、商的求导运算法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积、商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
[思路分析] 可先用降幂公式将式子化简后，再求导．『规律总结』 在求导数时，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可将函数先化简(可能会化去商或积)，然后进行求导，有时可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
函数y＝xe1－2x的导数为____________．
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[辨析] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全．对复合函数的求导不完全而致误 典例 3 [正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 复合函数y＝f(φ(x))的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．1．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1A 2．函数f(x)＝(2x＋1)2在x＝1处的导数值是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[解析] f′(x)＝2(2x＋1)×2＝4(2x＋1)＝8x＋4.
∴f′(1)＝12，故选D.D 3．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________________．
[解析] 依题意，设P点为(x0，y0)，又y′＝－e－x，
所以y′|x＝x0＝－e－x0＝－2，
解得x0＝－ln2，y0＝2，即P(－ln2,2)．(－ln2,2) 课时作业学案
