第3章 §1 第1课时 导数与函数的单调性
A级 基础巩固
一、选择题
1．在下列结论中，正确的有( A )
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；
(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数；
(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A.
2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( D )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2,0
0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)·f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sinx B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.
5．(2019·临沂高二检测)已知函数y＝f(x)的图像是如图四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( B )
[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数，又因导函数值在[－1,0]递增，原函数在[－1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，选B.
6．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
[解析] 因为f′(x)＝，
∴当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，因为e所以f(a)>f(b)．选A.
二、填空题
7．(2019·烟台高二检测)函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)．
[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为
(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(－∞，0]．
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴
解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
三、解答题
9．(2018·天津理，20(1))已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a的单调区间．
[解析] 由已知，h(x)＝ax－xln a，
有h′(x)＝axln a－ln a.
令h′(x)＝0，解得x＝0.
由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
?
极小值
?
所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)·ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
[解析] ∵f(x)＝(x2－2ax)ex，
∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0，
解x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.f(x)在区间(x1，x2)上单调递减，
∴x2≥1，即a－1＋≥1，
∴a≥.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图像上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为( A )
A．(－1,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
[解析] 因为函数f(x)，(x∈R)上任一点(x0，y0)的切线方程为
y＝(x－x0－2)x＋(y0－x＋x＋2x0)，
即函数在任一点(x0，y0)的切线斜率为k＝x－x0－2，
即知任一点的导数为f ′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，
由f ′(x)＜0，得－1＜x＜2，即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)．
故选A.
2．函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2017，对任意x∈R，都有f ′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2013的解集为( C )
A．(－2,2) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)
[解析] 令F(x)＝f(x)－x2－2013，则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，
又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0，
∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2013的解集为(－∞，－2)．
二、填空题
3．若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是[－，].
[解析] 函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，
则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，
所以，
解得－≤a≤.
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.
(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为{0}；
(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为{a|a<0}．
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3
＝(x＋1)(3x＋2a－3)．
(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，
∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根，
∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．
(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立，又二次函数y＝f ′(x)开口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，
∴a的取值集合为{a|a<0}．
三、解答题
5．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)·ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f(x)＝(x2＋x－1)ex，所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.
又因为f(1)＝e，所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，
即4ex－y－3e＝0.
(2)f(x)＝(－x2＋x－1)ex，因为f′(x)＝－x(x＋1)ex，
令f′(x)<0，
得x<－1或x>0；f′(x)>0
得－1所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，增区间为(－1,0)．
6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)f ′(x)＝－＋1，
∵f ′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，∵a>0，∴a＝.
(2)f ′(x)＝－＋1
＝＝，
∵当x∈(0，)时，f ′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．
C级 能力拔高
(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝2x＋＝，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时f ′(x)＝.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
递增
由表格可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，x∈[1,2]，则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)<0，
∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min＝h(2)＝－，
∴a≤－，故a的取值范围为{a|a≤－}．
课件48张PPT。第三章导数应用本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应 §1 函数的单调性与极值
第1课时 导数与函数的单调性自主预习学案 研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走
低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线
图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，
就是我们常说的单调性．
那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？1．切线的斜率和f(x)的导数的关系
(1)切线的斜率为正，_____________；切线的斜率为负，_____________.f′(x)>0 f′(x)<0 2．用导数判断函数的单调性
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在这个区间内_________；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在这个区间内_________．
3．函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较___，其图像比较_____．即|f ′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．单调递增 单调递减 快 陡峭 4．求可导函数单调区间的一般步骤
第一步，确定函数f(x)的定义域．
第二步，求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根．
第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
第四步，确定f′(x)在各个小区间的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性．1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)>0得x>2，∴选D.D 2．(2019·德州高二检测)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
[解析] ∵f ′(x)在[a，b]上为增函数，∴f(x)在[a，b]上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A.AC 互动探究学案 (1)(2019·临沂高二检测)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )命题方向1 ?利用导数研究函数的单调性典例 1 D『规律总结』 1.函数的图像与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．〔跟踪练习1〕
(1)(2019·石家庄高二检测)已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中，y＝f(x)的图像大致是( )C(2)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[解析] (1)由函数y＝xf′(x)的图像可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，
∴f(x)为增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)为减，当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C.(2)由f(x)＝ex－x－1，
得f′(x)＝ex－1.
当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，
即f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，
即f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，0)内是减函数． 确定下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
[解析] (1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴函数的递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)；
递减区间是(2,4)．命题方向2 ?用导数求函数的单调区间典例 2 『规律总结』 研究函数的单调区间时，首先要求函数的定义域，然后在定义域范围内研究函数的单调性，否则可能产生增根．, 讨论函数f(x)＝x3＋ax(a∈R)的单调性．
[思路分析] 讨论函数的单调性与求单调区间基本一致，一般用求导数法求解．含参数的要注意分类讨论．
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，y′≥0，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a<0时，令3x2＋a＝0得命题方向3 ?含参数的讨论问题典例 3 『规律总结』 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．(2)y′＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，
令y′<0得(x－a)(x－a2)<0.
①当a<0时，不等式的解集为a②当0③当a>1时，不等式的解集为a④a＝0，a＝1时，y′≥0，此时，无减区间．
综上所述：
当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；
当0当a＝0，a＝1时，无减区间．转化思想的应用——构造法证明不等式 典例 3 『规律总结』 若证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明：f(x)－g(x)>0.如果[f(x)－g(x)]′>0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．若F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，f(a)－g(a)>0，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．,D 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．
[错解] 求函数的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1.
当f′(x)<0时，f(x)是减函数，因忽视条件的前提而致误 典例 5 [点评] 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.[解析] f ′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f ′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且
f ′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f ′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，1．(2019·上城区校级模拟)定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef ′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的增区间是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(0,1) D．(1,2)B[解析] 由题意如图f ′(x)≥0的区间是(－∞，2)，
故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)，
故选B.2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
[解析] A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．D课时作业学案第3章 §1 第2课时 函数的极值
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于函数的极值，下列说法正确的是( D )
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
[解析] 对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错，C显然不对．
2．函数y＝2x3－6x2－18x＋7( A )
A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47
B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47
C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47
D．以上都不对
[解析] y′＝6x2－12x－18，令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17，当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.
3．函数y＝x4－x3的极值点的个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
?
无极值
?
极小值
?
故选B.
4．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( A )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[解析] ∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴或∴ad＝2.
5．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( B )
A．①② B．③④
C．①③ D．①④
[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.
6．(2019·福州高二检测)函数f(x)＝x＋的极值情况是( D )
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2，当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
[解析] 函数定义域为{x|x≠0}，
∵f′(x)＝1－，
令f′(x)＝0，解x＝±1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，当x＝－1时，极大值为－2，当x＝1时，极小值为2.选D.
二、填空题
7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
[解析] y＝f(x)＝xex?f ′(x)＝(1＋x)ex，令f ′(x)＝0?x＝－1，此时f(－1)＝－，
函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
8．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0[解析] f ′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f ′(x)＝0的两个根，
由0
解得3三、解答题
9．(2018·天津文，20)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若d＝3，求f(x)的极值．
[解析] (1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f ′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f ′(0)＝－1.
又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f ′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知可得
f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.
故f ′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.
令f ′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，t2－)
t2－
(t2－，t2＋)
t2＋
(t2＋，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6，
函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6.
10．(2018·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解析] (1)解：因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f ′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f ′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)解：由(1)得f ′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex
＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈，1时，f ′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f ′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2017π)，则函数f(x)的极大值之和为( B )
A. B.
C. D.
[解析] f ′(x)＝2exsinx，令f ′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2017π)，
∴0<(2k＋1)π<2017π，∴0≤k<1008，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2015π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2015π＝＝，故选B.
2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋…＋g()＝( B )
A．2015 B．2016
C．2017 D．2018
[解析] 函数的导数g′(x)＝x2－x＋3，
g″(x)＝2x－1，
由g″(x0)＝0得2x0－1＝0，解得x0＝，而g()＝1，
故函数g(x)关于点(，1)对称，
∴g(x)＋g(1－x)＝2，
故设g()＋g()＋…＋g()＝m，
则g()＋g()＋…＋g()＝m，
两式相加得2×2016＝2m，则m＝2016.故选B.
二、填空题
3．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝－3，b＝－9.
[解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有∴
经检验a＝－3，b＝－9符合题意．
4．已知偶函数y＝f(x)，对于任意的x∈满足f ′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有②③④.
①ff
③f(0)<f ④f<f
[解析] 令g(x)＝，由已知得g′(x)＝
>0，∴g(x)＝在上单调递增，故得g>g，g(0)即f>f，f(0)<f，
∴f>f，f>f，①错误，②正确；③正确；又g即<，
∴f<f，④正确．
三、解答题
5．(2018·全国卷Ⅲ理，21)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.
(1)若a＝0，证明：当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0；
(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.
[解析] (1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，
f ′(x)＝ln(1＋x)－.
设函数g(x)＝f ′(x)＝ln(1＋x)－，则g′(x)＝.
当－1＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0，故当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f ′(x)≥0，且仅当x＝0时，f ′(x)＝0.
所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增．
又f(0)＝0，故当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，
f(x)＞0.
(2)解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，
当x＞0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x＞0＝f(0)，
这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．
(ⅱ)若a＜0，
设函数h(x)＝＝ln(1＋x)－.
由于当|x|＜min时，2＋x＋ax2＞0，
故h(x)与f(x)符号相同．
又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点，
当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．
h′(x)＝－
＝.
若6a＋1＞0，则当0＜x＜－，且|x|＜f′min时，h′(x)＞0，故x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＜0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1＜0，
故当x∈(x1,0)，且|x|＜min时，h′(x)＜0，
所以x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＝0，则h′(x)＝，
则当x∈(－1,0)时，h′(x)＞0；当x∈(0,1)时，h′(x)＜0.
所以x＝0是h(x)的极大值点，从而x＝0是f(x)的极大值点．
综上，a＝－.
6．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f ′(x)＝x－＝，
令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f ′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F ′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
当x>1时，F ′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．
C级 能力拔高
设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，
由题意可知当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1当x>2时，f′(x)>0，
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根，
解得a<2或a>.
课件49张PPT。第三章导数应用本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应 §1 函数的单调性与极值
第2课时 函数的极值自主预习学案 苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高
低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山
之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它
却是其附近的最高点．
那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？1．如图所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的__________，其函数值f(x0)为函数的_________．极大值点 极大值 图1 图2如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的_________，其函数值f(x0)为函数的_______．
_______________统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．极小值点 极小值 极大值与极小值 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是_____的，在区间(x0，b)上是_____的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是_____的，在区间(x0，b)上是_____的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
利用导数与函数单调性的关系，我们可以把极大值的问题通过下表表示出来.增加 减少 减少 增加 极小值的问题通过下表表示出来.3.求函数极值点的步骤
一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点：
(1)求出导数f′(x)．
(2)解方程______________.
(3)对于方程______________的每一个解x0，分析f′(x)在x0___________的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
①若f′(x)在x0两侧的符号___________，则x0为极大值点；
②若f′(x)在x0两侧的符号___________，则x0为极小值点；
③若f′(x)在x0两侧的符号_____，则x0不是极值点．f′(x)＝0 f′(x)＝0 左、右两侧 “左正右负” “左负右正” 相同 1．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
[解析] ①y＝x3在R上单调递增，无极值；
②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；
③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；
④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．
∴选B.B 2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[解析] 由题意得f ′(x)＝3x2－12，
由f ′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(－2,2)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.D 3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，下列说法不正确的是__.
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
[解析] 由题图可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点，为1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．故只有①说法不正确．① 互动探究学案 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[思路分析] 首先对函数求导，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．命题方向1 ?利用导数求函数的极值典例 1 『规律总结』 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．〔跟踪练习1〕
(1)(2019·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4AB 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．
[思路分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f ′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f ′(x)取值左、右异号．
[解析] f ′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f ′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f ′(x)＝5ax2(x2－1)命题方向2 ?求参数的值或取值范围问题典例 2 『规律总结』 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．〔跟踪练习2〕
(1)已知函数f(x)的导数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
(2)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则( )DC[解析] (1)若a<－1，∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.
(2)y′＝ex＋a，由题意知a<0.
∵函数有大于零的极值点，x＝x0为其极值点，
∴ex0＋a＝0，x0>0，∴a<－1，故选C. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图像，对此图像，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是__(将你认为正确的序号填在横线上)．
[思路分析] 给出了y＝f ′(x)的图像，应观察图像找出使f ′(x)>0与 f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正，再做判断．命题方向3 ?函数与其导函数图像间的关系问题③ 典例 3 『规律总结』 有关给出图像研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图像还是f ′(x)的图像，若给的是f(x)的图像，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图像，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．〔跟踪练习3〕
设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D[解析] 由函数的图像可知，f ′(－2)＝0，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，并且当x＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x＜1，f ′(x)＜0，函数f(x)有极大值f(－2)．
又当1＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，故函数f(x)有极小值f(2)．
故选D.在函数的综合问题中，涉及方程的根的个数时，常以函数极值为工具，并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围．
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．有关函数极值的综合应用 典例 4 (2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，
∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f ′(x)＝3x2－3，
由f ′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．『规律总结』 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图像来解决．〔跟踪练习4〕
设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线f(x)与x轴有且只有一个交点？极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
[辨析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x＝－1时函数两侧的单调性，导致错误．注意极大值点与极小值点的区别 典例 5 [正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.
[警示] f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1若函数f(x)＝x3－2mx2＋m2x在x＝1处取得极小值，则实数m＝__.
[解析] ∵f ′(x)＝(3x－m)(x－m)，
由题意得：f ′(1)＝(3－m)(1－m)＝0，
∴m＝3或m＝1.
经检验知，当m＝3时，在x＝1处取得极大值．
当m＝1时，在x＝1处取得极小值．∴m＝1.1 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点C [解析] f ′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f ′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图像易知有两个极大值点，两个极小值点．A 3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是_______________.
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，
∴f ′(x)＝0有两不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.a<－3或a>6 4．(2018·全国卷Ⅰ文，21(1))已知函数f(x)＝aex－ln x－1.设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间．课时作业学案