第3章 §2 第1课时 实际问题中导数的意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示
( D )
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率
[解析] W′(t)表示t时刻的功率．
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，(s的单位是s，t的单位是s)，那么物体在3 s末的瞬时速度是( C )
A．7米/秒 B．6米/秒
C．5米/秒 D．8米/秒
[解析] s′(t)＝2t－1，
∴s′(3)＝2×3－1＝5.
3．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( B )
A．6 B．18
C．54 D．81
[解析] 瞬时速度v＝ ＝ ＝3(6＋Δt)＝18.
4．下列四个命题：
①曲线y＝x3在原点处没有切线；
②若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；
④函数y＝x5的导函数的值恒非负．
其中真命题的个数为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；
②中f(x)在x＝0处导数不存在；
③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；
④中y′＝5x4≥0.
所以命题①②③为假命题，④为真命题．
5．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为________m/s2( B )
A．t＋3t0 B．3t＋3
C．3t＋3t0 D．t＋3
[解析] ∵v′(t)＝3t2＋3，
则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3t＋3(m/s2)．
即t＝t0s时轿车的加速度为(3t＋3)m/s2.
二、填空题
6．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加．
7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是0.08元/年(精确到0.01)．
[解析] 因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值．
因为p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，
所以p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
三、解答题
8．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系式为C(x)＝x2＋60x＋2050.求：
(1)日产量75件时的总成本和平均成本；
(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量；
(3)当日产量为75件时的边际成本．
[解析] (1)当x＝75时，C(75)＝×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴≈106.08(元/件)．
故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7956.25元，106.08元/件．
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝＝101.25(元/件)．
(3)当日产量为75件时的边际成本
∴C′(x)＝x＋60，
∴C′(75)＝97.5(元)．
B级 素养提升
一、选择题
1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( B )
A．t＝1s时的速度
B．t＝1s时的加速度
C．t＝1s时的位移
D．t＝1s时的平均速度
[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．
2．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径( D )
A．成正比，比例系数为C
B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C
D．成反比，比例系数为2C
[解析] 本题主要考查导数的有关应用．
根据题意，V＝πR3(t)，S＝4πR2(t)，
球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)
球的表面积增长速度S′＝2·4πR(t)·R′(t)，
又∵球的体积以均匀速度C增长，
∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
二、填空题
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝.
[解析] s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10，
则t＝.
4．(2019·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
[解析] 瞬时变化率即为f ′(x)＝x2－2x为二次函数，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f ′(x)min＝－1.
三、解答题
5．一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问：
(1)f′(t)的符号是什么？为什么？
(2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f(3)＝65 ℃，你能画出函数在点t＝3 min时图像的大致形状吗？
[解析] (1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数．
(2)f′(3)＝－4表明在3 min附近时，温度约以4 ℃/min的速度下降，如图所示．
6．当销售量为x，总利润为L＝L(x)时，称L′(x)为销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．
某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2.
求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg和300 kg时的边际利润．
[解析] (1)总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，边际利润函数为L′(x)＝5－0.02 x.
(2)当日产量分别是200 kg、250 kg和300 kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，
L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．
C级 能力拔高
现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35 nmile/h，A地至B地之间的航行距离约为500 nmile，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(nmile/h)的函数：y＝f(x)；
(2)求x从10变到20的平均运输成本；
(3)求f′(10)并解释它的实际意义．
[解析] (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为0
(2)Δy＝f(20)－f(10)＝＋300×20－(＋300×10)＝－21000，∴＝＝－2100.
即x从10变到20的平均运输成本为－2100元，即每小时减少2100元．
(3)f′(x)＝－＋300，
∴f′(10)＝－＋300＝－4500.
f′(10)表示当速度x＝10 nmile/h，速度每增加1 nmile/h，每小时的运输成本就要减少4500元．
课件35张PPT。第三章导数应用本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应 §2 导数在实际问题中的应用
第1课时 实际问题中导数的意义自主预习学案 低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化碳的排
放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能环
保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们
希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或
每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
如何使汽油的使用效率最高？1．在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是______________的导数，线密度是______________的导数，功率是____________的导数．
2．经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加___________个单位的成本．路程关于时间 质量关于长度 功关于时间 f′(x0) 1．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示
( )
A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
[解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度，故选A.A C 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.则熄火后______秒后火箭速度为零(g取10 m/s2)．10 0.015 J 互动探究学案 设质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)当t＝2时的瞬时速度；
(3)当t＝2时的加速度．命题方向1 ?导数在物理中的意义典例 1 『规律总结』 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等．〔跟踪练习1〕
一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－lnt.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义． 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
[思路分析] 用导数的定义求解，并说明实际意义．导数在生活中的应用 典例 2 同理可得f′(6)＝5.
所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
甲、乙二人跑步的路程与时间的关系及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时谁跑得较快？
[错解] (1)乙跑得快 (2)甲跑得快．典例 3 [辨析] (1)甲、乙两人谁跑得快，求的是甲、乙两人的平均速度．
(2)甲、乙两人百米赛跑，临近终点时谁跑得快，求的是终点附近某时刻甲、乙两人的瞬时速度．
[正解] 从图①可以看出在相同的时刻t，乙跑的路程要比甲跑的路程远，所以乙跑得快．
从图②可以看出甲是匀速跑的，而乙快到终点时，变化率越来越大，即速度越来越快，所以快到终点时乙跑得较快．
[点评] “甲、乙两人谁跑得快”与“快到终点时，谁跑得快”是两个不同的问题：前者是平均速度问题，后者是瞬时速度问题．要结合图形进行分析．本题主要考查对图形的理解．〔跟踪练习3〕
环境保护部对长期超标排放污染物的企业下达了限期治理的决定．环境保护部在规定的排污达标日期前对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示(其中W表示排污量)．试问哪个企业治污效果较好？为什么？B 2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( )
A．14 B．4
C．10 D．6
[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.
所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.A 3．已知成本c与产量q的函数关系式为c＝3q2＋1，求当产量q＝30时的边际成本为______.
[解析] ∵c′(q)＝6q，∴c′(30)＝180，
∴当产量q＝30时的边际成本为180.180 课时作业学案第3章 §2 第2课时 最大值、最小值问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则f′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.
2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)
∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0.
所以F′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上递减，∴F(x)max＝f(a)－g(a)．
3．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( D )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析] ∵2x(x－a)<1，
∴a>x－，
令y＝x－，
∴y是单调增函数，若x>0，则y>－1，∴a>－1.
4．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图像上的点(1，f(1))处的切线方程是( B )
A．3x－15y＋4＝0 B．15x－3y－2＝0
C．15x－3y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
[解析] ∵f(x)＝－x3＋2ax2＋3x，
∴f′(x)＝－2x2＋4ax＋3
＝－2(x－a)2＋2a2＋3，
∵f′(x)的最大值为5，
∴2a2＋3＝5，
∵a>0，∴a＝1∴f′(1)＝5，f(1)＝.
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.
5．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( A )
A．()3π B．()3π
C．()3π D．()3π
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3(0令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π.
6．用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为( A )
A．0.5 m B．1 m
C．0.8 m D．1.5 m
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5 m.
二、填空题
7．下列结论中正确的有④.
①在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值；
②在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值；
③在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b处取到；
④在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值．
[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为4.
[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x) max＝g＝4，从而a≥4；
当x<0即x∈[－1,0]，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
三、解答题
9．(2019·成都高二检测)成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
[解析] (1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
10．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f ′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f ′(x)min＝0，故f ′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围是( A )
A．(0,1] B．(－∞，1]
C．[0,2] D．(0,2]
[解析] 令y＝，则y′＝，可以验证当y′＝0即kx＝e，x＝时，ymax＝＝，
又y≤对于x＞0恒成立∴≤，得k≤1
又kx＞0，x＞0，∴k＞0，∴0＜k≤1.
2．(2019·威海高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( C )
A． B．
C． D．2
[解析] 设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝＋2hx，
∴2h＝－x.
则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋.
令l′＝＋2－＝0，
解x＝或－(舍)
因为函数只有一个极值点，所以x＝为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故选C.
二、填空题
3.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有①④.
[解析] 从图像上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0 ，所以f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1，1)上是减函数，所以②，③错误；当04．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．
[解析] 令g(x)＝(x≠0)，
∵x>0时，>0，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
三、解答题
5．(2019·德州高二检测)已知函数f(x)＝x－2lnx－＋1，g(x)＝ex(2lnx－x)．
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值．
[解析] (1)由题意得x＞0，f ′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数得，f ′(x)≥0，
即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)．
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g′(x)＝ex，
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1，
因为f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，
f(x)＞0.
所以，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.
故x＝1时，g(x)取得最大值g(1)＝－e.
6．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[解析] (1)由题设知g(x)＝lnx＋，
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x，
设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则
h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当0h(1)＝0，即g(x)>g()，
当x>1时，h(x)(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<对任意x>0成立?g(a)－1<，
即lna<1，从而得0C级 能力拔高
(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0；
(2)证明：当a∈[0,1) 时，函数g(x)＝(x>0) 有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
[解析] (1)f(x)＝ex，
f′(x)＝ex＝，
因为当x∈(－∞，－2)∪(－2，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增，
所以x>0时，ex>f(0)＝－1，
所以(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)g′(x)＝
＝
＝，a∈[0,1)．
由(1)知，当x>0时，f(x)＝·ex的值域为(－1，＋∞)，只有一解，使得·et＝－a，t∈(0,2]．
当x∈(0，t)时g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(t，＋∞)时g′(x)>0，g(x)单调递增．
h(a)＝＝＝，
记k(t)＝，在t∈(0,2]时，k′(t)＝>0，
所以k(t)单调递增，
所以h(a)＝k(t)∈.
课件58张PPT。第三章导数应用本章知识概述：导数应用包括两个方面：一是利用导数作为一种工具在解决函数问题中应用；二是导数在分析和解决实际问题中的应用，在教科书中分为两节．
第一部分主要是利用导数来研究函数的单调性与极大、极小值，是导数在研究和处理函数性质问题的一个重要应用．第二部分主要是应用导数方法解决现实中的变化趋势和最优化问题，解决这类问题的关键是函数模型的建立，从导数角度看，主要是导数在数学上的研究成果的应用．导数在现实生活中有着广泛的应用，在物理学中的力学、电学、运动、做功、受热膨胀等问题的解决都离不开导数．在日常生活中，利用导数处理最优化问题简单方便．导数是人们在解决现实生活问题中的伟大发明．
本章的学习重点是应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数的概念形成过程中的思想分析问题并建立导数模型．学习的难点是导数方法的应 §2 导数在实际问题中的应用
第2课时 最大值、最小值问题自主预习学案 蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表
现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种．蹦床
有“空中芭蕾”之称．蹦床运动要求运动员在一张绷紧
的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员
跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力－时间图像，根据图像可得到高度与时间的函数关系．设运动员在空中运动时可视为质点，那么如何来求运动员跃起的最大高度呢？ 1．最大值点与最小值点
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_______________．
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_______________．不超过f(x0) 不低于f(x0) 2．最大值与最小值
最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有_______________与_________的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．
函数的最大值和最小值统称为_____．极大(小)值点 区间端点 最值 3．导数在实际问题中的应用
应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下：函数 导数 说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值．
(2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值．C 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
[解析] f′(x)＝6x2－12x，x∈[－2,2]，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
可得f(x)在[－2,0]上为增函数，在(0,2]上为减函数，
∴f(x)在x＝0时取得极大值即为最大值．
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，
∴f(x)的最小值为－37.A [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．C 4．一张1.4 m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8 m，要使观察者观察得最清晰，他与墙的距离应为(视角最大时最清晰，视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线所夹的角)_________.2.4 m 互动探究学案 (1)(2019·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )命题方向1 ?求函数的最值典例 1 C『规律总结』 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．〔跟踪练习1〕
(2019·青岛高二检测)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值． 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
[思路分析] 本题主要考查利用导数求函数最值的逆向运用和分类讨论的思想．
[解析] 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．命题方向2 ?含参数的函数最值问题典例 2 『规律总结』 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[解析] (1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)．
由a>1知，当x<2时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，2)是单调递增的；
当2当x>2a时，f′(x)>0，故f(x)在区间(2a，＋∞)是单调递增的．
综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数． 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路分析] 第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t[解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.命题方向3 ?函数最值的综合应用典例 3 (2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，
由g′(t)＝－3t3＋2＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1，
又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max＝1.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．『规律总结』 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.〔跟踪练习3〕
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值．
当1(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小、最大(小)者为最大(小)值．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 [思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．典例 4 『规律总结』 利润最大、效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．〔跟踪练习4〕
有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
[思路分析] 设出CD的长为x，进而求出AC、BC，然后将总费用表示为变量x的函数，转化为求函数的最值问题．[解析] 如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x km.
因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x. 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系 典例 5 [点评] 若函数f(x)的解析式或定义域中含有参数，参数的取值可能引起函数最值的变化，这时要注意分类讨论．〔跟踪练习5〕
某船由甲地逆水行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，问：船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[解析] f ′(x)＝－4x3＋4x，
由f ′(x)＝0得x＝±1或x＝0.
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.B D 25 课时作业学案