第4章 §1 定积分的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．一辆汽车作变速直线运动，汽车的速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)之间具有如下函数关系：v(t)＝＋6t.求汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程s时，将行驶时间等分成n段，下列关于n的取值中，所得估计值最精确的是( D )
A．5 B．10
C．20 D．50
[解析] 将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确，故选D.
2．已知曲线y＝f(x)在x轴下方，则由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所围成的曲线梯形的面积S可表示为( C )
A. f(x)dx B. f(x)dx
C．－f(x)dx D．－f(x)dx
[解析] 因为f(x)位于x轴下方，故f(x)<0，
∴f(x)dx<0，故上述曲边梯形的面积为－f(x)dx.
3．设f(x)＝x2＋x6，则与f(x)dx的值一定相等的是( B )
A．0 B．2f(x)dx
C． f(x)dx D． f(x)dx
[解析] f(x)为偶函数，故它在[－a,0]上和[0，a]上的图像关于y轴对称，由定积分的几何意义可知 f(x)dx＝ f(x)dx.
4．设f(x)＝则f(x)dx的值是( D )
A. x2dx B. 2xdx
C. x2dx＋2xdx D. 2xdx＋x2dx
[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.
5．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( C )
A．2 B．－3
C．－1 D．4
[解析] [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
6．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系为( B )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
二、填空题
7．某汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)时的速度为v(t)＝t2＋2t(单位：km/h)，那么它在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s(单位：km)可表示为(t2＋2t)dt.
[解析] 如图所示，阴影部分的面积表示汽车在3≤t≤4这段时间内行驶的路程s，则s＝v(t)dt＝(t2＋2t)dt.
8.(2x－4)dx＝12.
[解析] 如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，
S△AOM＝×2×4＝4，
S△MBC＝×4×8＝16，
∴(2x－4)dx＝16－4＝12.
三、解答题
9．用图像表示下列定积分：
(1)log2xdx； (2)xdx.
[解析] (1)log2xdx表示曲线y＝log2x，直线x＝1，x＝2及x轴围成的曲边梯形的面积，如图中阴影部分所示．
(2)xdx表示直线y＝x，x＝2，x＝6及x轴围成的直角梯形的面积，如图中阴影部分所示．
10．(2019·青岛高二检测)利用定积分的几何意义求dx.
[解析] 由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图形为半圆，故dx为
圆心角120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝××12－×1×1×sinπ＝－
S矩形ABCD＝AB·BC＝2××＝.
∴dx＝＋.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题不正确的是( D )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图像关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图像关于y轴对称，故图像都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
2．(2019·威海高二检测)已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝( D )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
[解析] 作出函数f(x)＝2x－2的图像与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.
二、填空题
3．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)且f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)图像过(3,4)点，∴3a＋b＝4.
又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝1.
解方程组得
∴f(x)＝x＋.
4．比较大小：exdx>xdx.
[解析] exdx－xdx＝ (ex－x)dx，
令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，则f ′(x)＝ex－1≤0，
∴f(x)在[－2,0]上为减函数，
又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，
由定积分的几何意义又知f(x)dx>0，则由定积分的性质知，exdx>xdx.
三、解答题
5．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
[解析] 由定积分的几何意义知
x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cosxdx＝0，由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4.
6．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，
求：(1)3x3dx；
(2)6x2dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
[解析] (1)3x3dx＝3x3dx
＝3(x3dx＋x3dx)
＝3×(＋)＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6(x2dx＋x2dx)
＝6×(＋)＝126.
(3)(3x2－2x3)dx
＝3x2dx－2x3dx
＝3x2dx－2x3dx
＝3×－2×＝－.
C级 能力拔高
画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5；
(2)y＝logx，y＝0，x＝，x＝3.
[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S，则S＝|sinx|dx
或S＝sinxdx＋(－sinx)dx
＝sinxdx－πsinxdx.
(2)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S.则
课件50张PPT。第四章定积分本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念，计算和简单应用．
教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线运动物体的路程问题，变力做功等问题，充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具，教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的数学内容过程的揭示，认识到数学与生活的联系，通过微积分基本定理揭示出的两类完全不同的问题间的互逆关系，展示了数学的神奇魅力．
本章学习的重点是定积分的几何意义、微积分基本定理及定积分的应用，难点是对定积分的定义、思想方法的认识. §1 定积分的概念自主预习学案 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基
本方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分
的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．那么定积分是怎样定义的呢？又有哪些性质呢？1．定积分
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图所示．
将区间[a，b]分成n份，分点为：
a＝x0在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，那么S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于__________________，我们称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上
的定积分，记作___________，即A＝__________.其中积分号是∫，积分的下限是a，积分的上限是b，f(x)叫作被积函数．某一个固定的常数A y＝f(x)的图像与直线x＝a，x＝b和x轴 所围曲边梯形的面积 运动物体从x＝a 到x＝b时所走过的路程 b－a B B [解析] 由积分的几何意义可知选C.C 4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：> < < 互动探究学案命题方向1 ?定积分的定义典例 1 『规律总结』 用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n等分．
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.
〔跟踪练习1〕
用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．[思路分析] 由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1、x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．命题方向2 ?定积分的几何意义典例 2 『规律总结』 若函数f(x)的图像是某些特殊的图形，其面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．命题方向3 ?定积分的性质典例 3 [思路分析] 解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质把围成的平面区域的面积进行加减运算．[解析] (1)如图，『规律总结』 利用定积分的性质求定积分的策略
(1)利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合，先把每一个积分求出，再求定积分的值．
(2)求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加．
(3)注意函数f(x)奇偶性、对称性的利用．B 定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具，注意这些性质的正确和逆用及变形应用．主要考查定积分表示平面图形的面积．
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示．
[思路分析] 可先作出函数图像，再根据图像及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示．利用定积分求平面图形的面积 典例 4 『规律总结』 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；
(4)根据定积分的性质写出结果． 由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为__________．
[辨析] 由于所围成的平面图形，有的在x轴上方，有的在x轴下方，其定积分值有的为正，有的为负，其位于x轴下方的面积应为积分值的相反数．错用定积分的几何意义致误 典例 5 〔跟踪练习5〕
如图所示，曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成的阴影部分的面积S为______________________.B B 课时作业学案
