第4章 §2 微积分基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·景德镇市高二质检)若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为( A )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
2．若(2ax＋a＋1)dx＝5，则a＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (2ax＋a＋1)dx＝(ax2＋ax＋x)|＝4a＋1＝5，∴a＝1，故选A.
3．(2018·玉溪模拟)由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3及x轴所围成的曲边四边形的面积为( C )
A. B. C.＋ln3 D．4－ln3
[解析] 由xy＝1得y＝，由得xD＝1，
所以曲边四边形的面积为：xdx＋dx＝x2|＋lnx|＝＋ln3，故选C.
4．函数F(x)＝costdt的导数是( A )
A．f ′(x)＝cosx B．f ′(x)＝sinx
C．f ′(x)＝－cosx D．f ′(x)＝－sinx
[解析] F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以f ′(x)＝cosx，故应选A.
5．(2019·昆明高二检测)若直线l1：x＋ay－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0垂直，则积分 (x3＋sin x－5)dx的值为( D )
A．6＋2sin 2 B．－6－2cos 2
C．20 D．－20
[解析] 由l1⊥l2得4－2a＝0即a＝2，∴原式＝
(x3＋sin x－5)dx＝ (x3＋sin x)dx＋ (－5)dx＝0－20＝－20.
6．dθ的值为( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵1－2sin2＝cosθ，
∴dθ＝cosθdθ
＝sinθ＝，故应选D.
二、填空题
7．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为.
[解析] 因为0≤f(x)≤1，且由定积分的定义知：
f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴围成图形的面积．
又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N个数对，即N个点．
而满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图像上及图像下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.
8．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝－1或.
[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
三、解答题
9．计算下列定积分：
(1)(4－2x)(4－x2)dx; (2)dx.
[解析] (1)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝＝32－16－＋8＝.
(2)dx＝dx
＝＝－3ln2.
10．(2019·泉州模拟)已知f(x)＝(kx＋b)ex且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝e(x－1)．
(1)求k与b的值；
(2)求x·exdx.
[解析] (1)∵f(x)＝(kx＋b)ex，
∴f′(x)＝(kx＋k＋b)ex，∴f′(1)＝e，f(1)＝0，
即
解得k＝1，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝(x－1)ex，f′(x)＝xex，
∴(xex)dx＝(x－1)ex|＝0＋1＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·岳阳高二检测)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( B )
A．S1C．S2[解析] S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.
2．定义在R上的可导函数y＝f(x)，如果存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＝成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“平均值点”，那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由已知得：f(x0)＝
＝＝0，即x－3x0＝0，解得：x0＝0或x0＝±，∴f(x)的平均值点有3个，故选C.
二、填空题
3． (x＋cosx)dx＝2.
[解析] ＝2.
4.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为.
[解析] 由得，x＝t，故S＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝(t2x－x3)|＋(x3－t2x)|
＝t3－t2＋，
令S′＝4t2－2t＝0，∵0易知当t＝时，Smin＝.
三、解答题
5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析] ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①
又∵f ′(x)＝2ax＋b，∴f ′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则f ′(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．
[解析] 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝(－)|＝－＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以＝(x－x2－kx)dx＝(x2－)|＝(1－k)3，
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－＝1－.
C级 能力拔高
设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)若直线x＝－t(0[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，
所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根．
所以判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意有(x2＋2x＋1)dx＝(x2＋2x＋1)dx，
所以|＝|
即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t.
所以2t3－6t2＋6t－1＝0，
所以2(t－1)3＝－1，
所以t＝1－.
课件40张PPT。第四章定积分本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念，计算和简单应用．
教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线运动物体的路程问题，变力做功等问题，充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具，教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的数学内容过程的揭示，认识到数学与生活的联系，通过微积分基本定理揭示出的两类完全不同的问题间的互逆关系，展示了数学的神奇魅力．
本章学习的重点是定积分的几何意义、微积分基本定理及定积分的应用，难点是对定积分的定义、思想方法的认识. §2 微积分基本定理自主预习学案 火箭要把运载物发送到预定轨道是极其复杂的过程，
至少涉及变力做功问题，有诸如“曲边梯形”面积计算、
变速直线运动的位移计算等问题，应如何解决？能否将
“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯形”面积的计
算，能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题呢？学习了本节知识后，就可以轻易解决这些问题．F(b)－F(a) 原函数 F(b)－F(a) c x＋c ln|x|＋c ex＋c (6)ax的原函数＝_______；
(7)cosx的原函数＝ ________ ；
(8)sinx的原函数＝ __________.
4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的______；②利用定积分的_________；③利用_______________．sinx＋c －cosx＋c 定义 几何意义 微积分基本定理 0 C 互动探究学案 求下列定积分的值：
[思路分析] 根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的一个原函数．命题方向1 ?求函数的定积分典例 1 『规律总结』 利用微积分基本定理求定积分的步骤：
第一步，利用定积分的性质将被积函数变形为基本初等函数导数公式中所列函数形式的积分的代数和．
第二步，依次找出各被积函数的一个满足F ′(x)＝f(x)的原函数F(x)．
第三步，利用牛顿——莱布尼茨公式求值．命题方向2 ?微积分基本定理的应用典例 2 3 〔跟踪练习2〕
如图所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.1.2 求分段函数的定积分时，可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解．
计算下列定积分：求分段函数的定积分 典例 3 [思路分析] 解答本题第(1)小题，可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和；解答第(2)(3)小题时，可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分．『规律总结』 (1)在求定积分时，会遇到被积函数是分段函数或绝对值函数的情况，这时我们就要根据不同的情况把分段函数在区间[a，b]上的积分，分成几段积分和的形式．分段的标准是：使每段上的函数表达式确定，按照原来函数分段的情况分即可．
典例 4 [错因分析]当对应曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数，本题求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的．
[点评] 在应用定积分求平面图形面积时常因被积函数与积分上、下限不对应导致错误，解题时一定要注意结合图形确定被积函数与积分上、下限．B 2 课时作业学案
