第4章 §3 定积分的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图所示，阴影部分的面积是( C )
A．2 B．2－
C． D．
[解析] S＝(3－x2－2x)dx，即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是
( B )
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
[解析] S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D )
A．2 B．4
C．2 D．4
[解析] 如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得，S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( A )
A．405 B．540
C．810 D．945
[解析] 停车时v(t)＝0，则27－0.9t＝0，∴t＝30s，s＝v(t)dt＝ (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|＝405.
5．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( D )
A． B．3－
C．6＋3 D．6－3
[解析] dt＝＝6－3，故应选D.
6．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立∴O(0,0)，B(1,1)，
∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.
定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值．
二、填空题
7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是18__.
[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则f ′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
8．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是 .
[解析] 解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，
由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
解法2: 同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，
由对称性知，S＝2(2－)dy
＝2dy＝2×(y|)＝.
三、解答题
9．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
[解析] 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
10．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动．求：
(1)在t＝4s的位置；
(2)在t＝4s内运动的路程．
[解析] (1)在时刻t＝4时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|
＝(m)，
即在t＝4s时刻该质点距出发点m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＋|(t3－2t2＋3t)||＋(t3－2t2＋3t)|
＝＋＋＝4(m)
即质点在4s内运动的路程为4m.
B级 素养提升
一、选择题
1．直线y＝2x，x＝1，x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( A )
A． B．32π
C． D．3π
[解析] 由V＝π·(2x)2dx＝π4x2dx＝4πx2dx＝4π·x3|＝(8－1)＝.
2．如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知得阴影部分面积为4－x2dx＝4－＝.所以此点取自阴影部分的概率等于＝.
二、填空题
3．由直线y＝x和曲线y＝x3(x≥0)所围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为.
[解析] 由
求得或
所以V＝πx2dx－πx6dx
＝πx2dx－πx6dx
＝π
＝π＝π×＝.
4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝3.
[解析] ∵切点M在切线y＝x＋2上，
∴f(1)＝×1＋2＝，
又切线斜率k＝，∴f ′(1)＝，
∴f(1)＋f ′(1)＝＋＝3.
三、解答题
5．求由曲线y＝x2，直线y＝x所围成的平面图形绕x轴旋转
一周所得旋转体的体积．
[解析] 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形如图中阴影部分．
设所得旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于直线y＝x，x＝1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y＝x2，直线x＝1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)．
因为V1＝πx2dx＝＝×(13－03)＝，
V2＝π(x2)2dx＝πx4dx＝＝，
所以V＝V1－V2＝－＝.
C级 能力拔高
如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.
(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；
(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．
[解析] (1)设点P的横坐标为t(0S1＝(tx－x2)dx＝t3，
S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3，
因为S1＝S2，所以t3＝－2t＋t3，解得t＝，
故点P的坐标为(，)．
(2)令S＝S1＋S2，
由(1)知，S＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，则S′＝t2－2，
令S′＝0，得t2－2＝0，因为0又当00；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，此时点P的坐标为(，2)．
课件50张PPT。第四章定积分本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念，计算和简单应用．
教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线运动物体的路程问题，变力做功等问题，充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具，教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的数学内容过程的揭示，认识到数学与生活的联系，通过微积分基本定理揭示出的两类完全不同的问题间的互逆关系，展示了数学的神奇魅力．
本章学习的重点是定积分的几何意义、微积分基本定理及定积分的应用，难点是对定积分的定义、思想方法的认识. §3 定积分的简单应用自主预习学案 定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为
整→取极限”．定积分这种“和的极限”的思想，在
数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在
生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结
构与定积分中求”和的极限”的数学结构是一样的，那么如何用积分的方法求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题呢？直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 3．几种典型图形的面积的计算
由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积D D A 4．由曲线y＝x2，直线x＝1，x＝2与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________.互动探究学案 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为____.命题方向1 ?不分割型平面图形面积的求解典例 1 [思路分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标．『规律总结』 利用定积分求平面图形的面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像．
(2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的部分．
(3)借助图形确定出被积函数．
(4)求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和(定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面积．B [思路分析] 画出三条曲(直)线，求出交点坐标，将平面图形按交点分割成可求积分的几部分再求解．
[解析] 解法1：画出草图，如图所示．命题方向2 ?分割型平面图形面积的求解典例 2 『规律总结』 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的各交点坐标，可以将积分区间细化区段，然后根据图像对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限为y的对应值．被积函数也相应的改变．[解析] 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图所示．命题方向3 ?简单几何体的体积典例 3 『规律总结』 简单几何体的体积的求法
(1)简单旋转体体积的求解步骤
①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；
②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分的上、下限；
③确定被积函数；
④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；
⑤求出定积分，即旋转体的体积．
用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中相关的内容，将物理问题转化为定积分解决．
有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移；
(2)经过时间t后又返回原点时的t值．定积分在物理中的应用典例 4 [解析] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点沿x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点后运动的路程『规律总结』 沿直线运动时，路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：
所以求路程时要先求得速度的正负区间． 由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为( )被积函数和积分上下限确定不准致误典例 5 [辨析] 错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．[点评] 用定积分求较复杂的平面图形的面积时，一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原函数．〔跟踪练习5〕
求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形．C C 3．求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．课时作业学案
