第二章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( A )
A．1 B．2
C．e D．
[解析] 根据导数的几何意义可得，k＝y′|x＝0＝e0＝1.
2．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为( C )
A．0 B．±3
C．0或±3 D．非以上答案
[解析] 求出使y′＝0的值的集合，再逐一检验．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－a.
由题设x＝0时，y＝0，故－a＝0，则a＝0.且知当x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3时，也成立．故选C.
3．设f(x)为可导函数，且满足条件 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( B )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[解析] 因为f(x)为可导函数，且 ＝－1，所以 ＝－1，所以＝－2，即f′(1)＝－2，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.
4．运动方程为s＝＋2t2，则t＝2的速度为( B )
A．4 B．8
C．10 D．12
[解析] 本题考查导数的物理意义，求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用．
∵s＝＋2t2＝－＋2t2＝t－2－t－1＋2t2，
∴s′＝－2t－3＋t－2＋4t.
∴v＝－2×＋＋4×2＝8，故选B.
5．函数y＝f(x)的图像过原点且它的导函数y＝f′(x)的图像是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图像的顶点在( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 显然y＝f(x)为二次函数，设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则y＝f′(x)＝2ax＋b.由图像知a<0，b>0.又由已知函数的图像过原点，∴c＝0，顶点为(，)，因而y＝f(x)的顶点在第一象限．
6．若函数y＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值( C )
A．等于0 B．等于1
C．等于 D．不存在
[解析] y′＝＝，
当x＝x0时，y′＝，y＝.由题意，知y′＋y＝0，即ex0(x0－1)＋ex0·x0＝0，
所以x0＝.
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为( C )
A．3 B．
C．2 D．
[解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b，∴f ′(0)＝b>0；
∵对于任意实数x都有f(x)≥0，
∴a>0且b2－4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c>0，
∴＝＝＋1≥＋1≥1＋1＝2，
当a＝c时取等号．故选C.
8．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( A )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[解析] ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，①
∴f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8
＝2f(x)－x2－4x＋4.②
将②代入①，得
f(x)＝4f(x)－2x2－8x＋8－x2＋8x－8.
∴f(x)＝x2，y′＝2x.
∴y＝f(x)在(1，f(1))处的切线斜率为
y′|x＝1＝2.
∴函数y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
9．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是
( D )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
[解析] ∵f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，
∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，
∵θ∈[0，]，∴sin(θ＋)∈[，1]，
∴f′(1)∈[，2]．故选D.
10．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( C )
A．2a2 B．a2
C．2|a| D．|a|
[解析] 设切点的坐标为(x0，y0)，曲线的方程即为y＝，y′＝－，故切线斜率为－，切线方程为y－＝－(x－x0)．令y＝0得x＝2x0，即切线与x轴的交点坐标为(2x0,0)；令x＝0得y＝，即切线与y轴的交点坐标为.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×|2x0|×＝2|a|.
11．(2019·全国Ⅲ卷理，6)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵ 切线方程为y＝2x＋b，
∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D.
12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( A )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
[解析] 考查导数的应用，求曲线的切线方程问题．
设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，
则x0＝0或x0＝.
x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得
a＝－
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1，所以选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2019·南开区二模)已知f(x)＝x(2016＋lnx)，f′(x0)＝2017，则x0＝1__.
[解析] f′(x)＝2016＋lnx＋1＝2017＋lnx
又∵f′(x0)＝2017，∴f′(x0)＝2017＋lnx0＝2017，
则lnx0＝0，x0＝1.
14．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
[解析] ∵(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，
∴直线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
∴y－ex0＝ex0·x－x0·ex0.
∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．
∴x0·ex0＝ex0.∴x0＝1.
∴切点为(1，e)，斜率为e.
15．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数的值互为相反数，则c＝ .
[解析] 因为f(x)＝，所以f(c)＝.
又因为f′(x)＝＝，
所以f′(c)＝.
依题意知f(c)＋f′(c)＝0，
所以＋＝0.
所以2c－1＝0，得c＝.
16．函数y＝cosx·cos2x·cos4x的导数为y′＝.
[解析] ∵y＝cosx·cos2x·cos4x＝
＝·，
∴y′＝′＝·
＝－.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图像过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∴c＝－2－a.
∴f(x)＝ax4－(2＋a)x2＋1，
∴f′(x)＝4ax3－2(2＋a)x
又∵f′(1)＝1.
即：4a－4－2a＝1，∴a＝.
∴c＝－.
∴f(x)＝x4－x2＋1.
18．(本小题满分12分)已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1、C2都相切．求直线l的方程．
[解析] 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1，y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x①.
对于C2，y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4②.
∵两切线重合，∴，
解得或，∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
19．(本小题满分12分)(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；
(2)过曲线y＝f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
[解析] (1)由题意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，
∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，其方程为
y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，
则切点处的导数值f′(x0)＝3x－2；
若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x－y－2＝0；若点(1，－1)不为切点，则
3x－2＝(x0≠1)，
即3x－2＝，
∴3x－2x0－3x＋1＝x－2x0.
∴2x－3x＋1＝0，
即(x0－1)(2x－x0－1)＝0.
∴x0＝1或x0＝－，其中x0＝1舍去．
则切点坐标为(－，)，
∴斜率为f′(－)＝3×(－)2－2＝－.
∴切线方程为5x＋4y－1＝0.
∴过点(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
20．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.
(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，
则f′(x0)＝g′(x0)，且x0>0，
故f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，
解得x0＝±.
∵x0>0，∴x0＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，若x∈[0,1]，f(x)图像上任意一点处切线的斜率为k，当|k|≤1时，求a的范围．
[解析] ∵f′(x)＝－3x2＋2ax，
∴k＝f′(x)＝－3x2＋2ax.
由|k|≤1知|－3x2＋2ax|≤1(0≤x≤1)，
即|－3(x－)2＋|≤1在x∈[0,1]上恒成立．
又f′(0)＝0，
①当<0，即a<0时，－3＋2a≥－1，即a≥1.故无解；
②当0≤≤1，即0≤a≤3时，
得1≤a≤；
③当>1，即a>3时，－3＋2a≤1得a≤2，此时无解．
综上知1≤a≤，
∴a的范围为[1，]．
22．(本小题满分12分)(2019·德州模拟)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)f′(x)＝a＋，又根据切线方程可知x＝2时，y＝，y′＝，
则有，解.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
课件29张PPT。第二章变化率与导数本章总结知 识 网 络专题突破专题一 ?导数的定义典例 1 『规律总结』 求运动物体瞬时速度的三个步骤
第一步求时间改变量Δt和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝tanα＝f′(x0)．
[思路分析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．专题二 ?导数的几何意义典例 2 『规律总结』 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．需熟记导数公式，主要应用是求导函数的函数值．对于复合函数求导的关键是明确函数的复合过程，将其转化为基本初等函数的形式或直接能使用导数的运算法则进行求导的形式．
函数和、差、积、商的导数运算法则可推广到有限个导数运算的四则运算．
求下列函数的导数：专题三 ?导数的计算典例 3 『规律总结』 (1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．(1)①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)；
③如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
(2)利用导数求曲线过点P(x0，y0)的切线方程时要注意首先判断点P是否在曲线上，若点P在曲线上，则切线斜率即为f′(x0)，切线方程易得；若点P不是曲线上的点，则应首先设出切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再结合kPQ＝f′(x1)以及y1＝f(x1)进行求解．专题四 ?求曲线的切线方程[思路分析] 利用导数的几何性质确定曲线在某点处的切线斜率，进而可解决曲线的切线问题．典例 4 『规律总结』 解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．一、选择题
1．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝
( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，
∴a＝－6.D B 3．若f(x)＝x2＋4x＋2lnx，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0) A 4．(2019·山师附中高二期中)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.C 二、填空题
5．已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_____.
[解析] 本题考查导数的几何意义．
由题意知：P(4,8)，Q(－2,2)，y′＝x，
∴切线斜率k＝4或k＝－2.
LAP：y－8＝4(x－4)，LAQ：y－2＝－2(x＋2)联立消去x，
得y＝－4.
注意在切线问题中常常用导数的几何意义．－4 (－∞，－1)，(1,2)
